《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

3. (2024·四川绵阳中考)如图 3-4-1,蝴蝶图案关于 $ y $ 轴对称,点 $ M $ 的对应点为 $ M_1 $,若点 $ M $ 的坐标为 $ (-2,-3) $,则点 $ M_1 $ 的坐标为(A).
A. $ (2,-3) $
B. $ (-3,2) $
C. $ (-2,3) $
D. $ (2,3) $

答案： A

4. 如图 3-4-2,已知点 $ A $ 的坐标为 $ (1,1) $,在 $ x $ 轴上存在点 $ P $ 使 $ \triangle PAO $ 是等腰三角形,写出点 $ P $ 所有可能的坐标.

答案： 点 P 的坐标可能为 $(-\sqrt{2},0)$或$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0).$

- 例2 如图 3-4-3,在等腰三角形 $ ABC $ 中,腰 $ AB = AC = 6 $,底边 $ BC = 4 $,建立适当的平面直角坐标系,写出各顶点的坐标,并计算三角形的面积.\n思路提示 结合平面直角坐标系考查勾股定理、等腰三角形的性质,得到等腰三角形底边上的高的长度是解答本题的关键.\n尝试解答\n巩固训练

答案： 图略.$A(0,4\sqrt{2})$,$B(-2,0)$,$C(2,0)$,三角形的面积是$8\sqrt{2}.$

5. 如图 3-4-4,在长方形 $ ABCD $ 中,已知 $ AB = 6 $,$ AD = 4 $. 以长方形的一条边 $ AB $ 为三角形的一条边画 $ \triangle ABE $,使 $ AE = BE = 5 $,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.

答案： 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
1. 长方形ABCD顶点坐标：
A(0,0)
B(6,0)（AB=6，在x轴上）
D(0,4)（AD=4，在y轴上）
C(6,4)（长方形对边相等）
2. △ABE中，设E(x,y)，AE=BE=5。
由AE=5：$x^2 + y^2 = 25$
由BE=5：$(x-6)^2 + y^2 = 25$
两式相减得：$(x-6)^2 - x^2 = 0$，解得x=3
代入$x^2 + y^2 = 25$，得$y^2=16$，y=4（E在长方形上方，符合题意）
E(3,4)
各顶点坐标：A(0,0)，B(6,0)，C(6,4)，D(0,4)，E(3,4)。