《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.

答案： 互相垂直；公共原点

2. 点 $ P(x,y) $ 的坐标的特征.
(1)若点 $ P(x,y) $ 在 $ x $ 轴上,则 $ x $ 为任意实数,$ y $ =0.
(2)若点 $ P(x,y) $ 在 $ y $ 轴上,则 $ x $ =0,$ y $ 为任意实数.
(3)若点 $ P(x,y) $ 在第一象限,则 $ x $ ＞0,$ y $ ＞0.
(4)若点 $ P(x,y) $ 在第二象限,则 $ x $ ＜0,$ y $ ＞0.
(5)若点 $ P(x,y) $ 在第三象限,则 $ x $ ＜0,$ y $ ＜0.
(6)若点 $ P(x,y) $ 在第四象限,则 $ x $ ＞0,$ y $ ＜0.

答案：
(1)为任意实数，=0；
(2)=0，为任意实数；
(3)＞0，＞0；
(4)＜0，＞0；
(5)＜0，＜0；
(6)＞0，＜0

3. 点 $ P(x,y) $ 的对称点的特征.
点 $ P(x,y) $ 关于 $ x $ 轴的对称点坐标为$(x, - y)$,关于 $ y $ 轴的对称点坐标为$(-x,y)$,关于原点的对称点坐标为$(-x,-y)$.

答案： 1. 对于点$P(x,y)$关于$x$轴的对称点：
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
所以点$P(x,y)$关于$x$轴的对称点坐标为$(x, - y)$。
2. 对于点$P(x,y)$关于$y$轴的对称点：
根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
所以点$P(x,y)$关于$y$轴的对称点坐标为$(-x,y)$。
3. 对于点$P(x,y)$关于原点的对称点：
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数。
所以点$P(x,y)$关于原点的对称点坐标为$(-x,-y)$。
故答案依次为：$(x, - y)$；$(-x,y)$；$(-x,-y)$。
例1（1）：
已知点$P$到$x$轴的距离$\vert y\vert = 2$，到$y$轴的距离$\vert x\vert = 3$，且点$P$在第二象限（第二象限内点的坐标特征是$x\lt0$，$y\gt0$）。
所以$x=-3$，$y = 2$，则点$P$的坐标为$(-3,2)$。
例1（2）：
因为$x + y=1$，$x\lt0$，$y\gt0$，取$x=-1$，则$y=1 - x=1-(-1)=2$（答案不唯一），所以点$P$的坐标可以为$(-1,2)$。
故例1答案依次为：$(-3,2)$；$(-1,2)$（答案不唯一）。

例1 (1)已知点 $ P $ 在第二象限,且到 $ x $ 轴的距离是 $ 2 $,到 $ y $ 轴的距离是 $ 3 $,则点 $ P $ 的坐标为______；\n(2)已知点 $ P $ 在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为 $ 1 $,则点 $ P $ 的坐标为______.(写出符合条件的一个点即可)
- 思路提示 (1)由点求坐标和由坐标找点的方法可知：点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离是点 $ P $ 的横坐标的绝对值；点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离是点 $ P $ 的纵坐标的绝对值. 所以点 $ P $ 的横坐标的绝对值为 $ 3 $,纵坐标的绝对值是 $ 2 $. 又因为点 $ P $ 在第二象限,横坐标为负,纵坐标为正,所以点 $ P $ 的坐标为 $ (-3,2) $；\n(2)横坐标与纵坐标的和为 $ 1 $,即 $ x + y = 1 $,因此,满足条件：$ x \lt 0 $,$ y \gt 0 $,$ x + y = 1 $ 的任何一对有序实数对 $ (x,y) $ 均可.\n巩固训练

答案： 1. （1）
解：根据点到坐标轴的距离与坐标的关系，点$P(x,y)$到$x$轴的距离$\vert y\vert$，到$y$轴的距离$\vert x\vert$。
已知点$P$到$x$轴的距离是$2$，则$\vert y\vert = 2$，$y=\pm2$；到$y$轴的距离是$3$，则$\vert x\vert = 3$，$x = \pm3$。
又因为点$P$在第二象限，第二象限内的点横坐标$x\lt0$，纵坐标$y\gt0$，所以$x=-3$，$y = 2$，则点$P$的坐标为$(-3,2)$。
2. （2）
解：设点$P$的坐标为$(x,y)$，因为点$P$在第二象限，所以$x\lt0$，$y\gt0$，且$x + y=1$。
当$x=-1$时，代入$x + y = 1$，得$-1 + y=1$，根据等式性质$y=1 + 1=2$，则点$P$的坐标可以为$(-1,2)$（答案不唯一）。
故答案依次为：$(-3,2)$；$(-1,2)$（答案不唯一）。

1. 若 $ x $ 轴上的点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 3 $,则点 $ P $ 的坐标为(3,0)或(-3,0).

答案： (3,0)或(-3,0)

2. 如果点 $ M(a + b,ab) $ 在第二象限,那么点 $ N(a,b) $ 在(C).
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C