《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

19. 实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图 4 所示.

(1) 化简: $\sqrt{a^2}=$-a, $|a+b|=$a+b;
(2) 先化简再求值: $\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}$,其中已知 $a$ 是 $\frac{1}{4}$ 的一个平方根,$b$ 是 $3$ 的算术平方根.
由图可知$-1\lt a\lt0$,$1\lt b\lt2$,
$\therefore a+1\gt0$,$b-2\lt0$,
$\therefore \sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=a+1+2$-b=a-b+3.
$\because$ a 是$\frac{1}{4}$的一个平方根,b 是 3 的算术平方根,$-1\lt a\lt0$,
$\therefore a=-\frac{1}{2}$,$b=\sqrt{3}$,
$\therefore \sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=a-b+3$
$=-\frac{1}{2}-\sqrt{3}+3=\frac{5}{2}-\sqrt{3}$.

答案：
(1)-a a+b
(2)由图可知$-1\lt a\lt0$,$1\lt b\lt2$,
$\therefore a+1\gt0$,$b-2\lt0$,
$\therefore \sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=a+1+2$-b=a-b+3.
$\because$ a 是$\frac{1}{4}$的一个平方根,b 是 3 的算术平方根,$-1\lt a\lt0$,
$\therefore a=-\frac{1}{2}$,$b=\sqrt{3}$,
$\therefore \sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}=a-b+3$
$=-\frac{1}{2}-\sqrt{3}+3=\frac{5}{2}-\sqrt{3}$.

20. 阅读下面的解题过程,解答问题.
形如 $\sqrt{m+2\sqrt{n}}$ 的化简,只要我们找到两个正数 $a,b$,满足 $a+b= m,ab= n$,且 $(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2= m,\sqrt{a}×\sqrt{b}= \sqrt{n}$,那么 $\sqrt{m\pm 2\sqrt{n}}= \sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}= \sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a＞b)$.
例:化简 $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
解:首先把 $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7+2\sqrt{12}}$,这里 $m= 7,n= 12$,由于 $4+3= 7,4× 3= 12$,即 $(\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2= 7,\sqrt{4}×\sqrt{3}= \sqrt{12}$,所以 $\sqrt{7+4\sqrt{3}}= \sqrt{7+2\sqrt{12}}= \sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}= 2+\sqrt{3}$.
(1) 填空: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}=$$\sqrt{3}+1$, $\sqrt{9+4\sqrt{5}}=$$\sqrt{5}+2$;
(2) 化简: $\sqrt{19-4\sqrt{15}}$ (请写出计算过程).
$\sqrt{15}-2$

答案：
(1)$\sqrt{3}+1$ $\sqrt{5}+2$
(2)$\sqrt{15}-2$.