《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 估算一个带根号的无理数的大致范围：如$\sqrt{x}(x ＞ 0)$,一般地要找到与$x最接近的两个正数a$,$b$($a$,$b$均能开平方),由$a ＜ x ＜ b$得$\sqrt{a}$$＜ \sqrt{x} ＜$$\sqrt{b}$,从而确定$\sqrt{x}$的大致范围。

答案： $\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$

2. 比较带根号的两个数的大小的常用方法：①估算法；②平方法；③求差法。

答案： 无（题目为方法总结，非选择题，无对应选项答案）

例1
估算下列数的大小(误差小于$0.1$)：
(1)$\sqrt{46}$；(2)$\sqrt[3]{18}$。
思路提示 估算无理数的大小,先确定是几位数,再确定最高位上的数字,然后确定下一位上的数字,直到确定出题中所需要的位数上的数字。
尝试解答
小结反思 解答上述问题的依据是开平方、开立方的概念,主要采取两边夹逼的方法,逐级确定数量级,向被开方数逼近,进而确定无理数的取值范围。

答案： （1）
∵7²=49，6²=36，6.8²=46.24，6.7²=44.89，
∴估计√46精确到0.1为6.8.（2）
∵2.6³=17.576，2.7³=19.683，
∴³√18精确到0.1为2.6.

例2
比较下列各组数的大小：
(1)$\frac{\sqrt{11} - 3}{7}与\frac{1}{7}$；(2)$\frac{\sqrt{2}}{3}与\frac{\sqrt{3}}{4}$。
尝试解答
(1)$\frac{\sqrt{11}-3}{7}-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{11}-4}{7}$.
∵$\sqrt{11}<4$，
∴$\sqrt{11}-3<1$.
∴$\frac{\sqrt{11}-3}{7}<\frac{1}{7}$.
(2)$\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2=\frac{2}{9}$，$\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\frac{3}{16}$.
∵$\frac{2}{9}>\frac{3}{16}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{3}>\frac{\sqrt{3}}{4}$
小结反思 (1)可用估算法或求差法比较；(2)可用平方法比较。

答案：
(1)√11-3/7-1/7=√11-4/7.
∵√11＜4，
∴√11-3＜1.
∴√11-3/7＜1/7.
(2)(√2/3)²=2/9，(√3/4)²=3/16.
∵2/9＞3/16，
∴√2/3＞√3/4

变式训练 比较大小：
(1)$1$______$\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{3}$______$-1$；(3)$3$______$\sqrt{8}$；(4)$-\sqrt{12}$______$-4$。

答案： 变式训练 （1）＜ （2）＜ （3）＞（4）＞

1. 估计$\sqrt{10}$的值在(C)。
A.$1和2$之间
B.$2和3$之间
C.$3和4$之间
D.$4和5$之间

答案： C