《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

8. 某市规定每月用水$18$立方米以内(含$18$立方米)和用水$18$立方米以上两种不同的用水收费标准. 该市的用户每月应交水费$y元与用水量x$立方米的函数图象如图5-4-15.
(1) 若某用户某月用水量为$18$立方米,则应交水费多少元？
(2) 当$x ＞ 18$时,求$y关于x$的函数表达式；
(3) 若小敏家某月交水费$81$元,则她家这个月的用水量为多少立方米？
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答案： 1. （1）
由图象可知，当$x = 18$时，$y = 45$。
所以若某用户某月用水量为$18$立方米，则应交水费$45$元。
2. （2）
解：当$x\gt18$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx + b$（$k\neq0$）。
因为函数图象过点$(18,45)$，$(28,75)$，将其代入$y = kx + b$中得：
$\begin{cases}18k + b=45\\28k + b=75\end{cases}$。
用$28k + b = 75$减去$18k + b = 45$，可得：
$(28k + b)-(18k + b)=75 - 45$。
$28k + b-18k - b = 30$。
$10k=30$，解得$k = 3$。
把$k = 3$代入$18k + b=45$，得$18×3 + b=45$，即$54 + b=45$，解得$b=-9$。
所以当$x\gt18$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y = 3x-9$。
3. （3）
因为$81\gt45$，所以把$y = 81$代入$y = 3x-9$（$x\gt18$）中。
得$81=3x-9$。
移项可得$3x=81 + 9$。
即$3x=90$，解得$x = 30$。
综上，（1）$45$元；（2）$y = 3x-9(x\gt18)$；（3）$30$立方米。

9. 某市新建A,B两类垃圾处理站共$20$个,其中A类垃圾处理站处理不可回收垃圾,B类垃圾处理站处理可回收垃圾. 已知每个A类垃圾处理站的垃圾日处理量为$30$吨,每个B类垃圾处理站的垃圾日处理量为$40$吨. 该市新建的这$20个垃圾处理站每天处理城市垃圾总量为720$吨.
(1) 求该市A,B两类垃圾处理站分别有多少个？
(2) 现要求不可回收垃圾到了垃圾处理站后需要继续细分为有害垃圾和其他垃圾,这使得A类垃圾处理站的垃圾日处理量减少了$5$吨. 某部门拟将$a(a \geq 3)$个B类垃圾处理站改建成A类垃圾处理站,请给出一个改建方案,使新建的垃圾处理站的日处理垃圾最多,并求出最多日处理垃圾为多少吨.

答案： $(1)$ 求该市$A$，$B$两类垃圾处理站分别有多少个
解：设该市$A$类垃圾处理站有$x$个，$B$类垃圾处理站有$y$个。
根据$A$，$B$两类垃圾处理站共$20$个，可列方程$x + y = 20$；
根据$20$个垃圾处理站每天处理城市垃圾总量为$720$吨，可列方程$30x + 40y = 720$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 20\\30x + 40y = 720\end{cases}$，
由$x + y = 20$可得$x = 20 - y$，将其代入$30x + 40y = 720$中，
得到$30(20 - y)+40y = 720$，
去括号得$600 - 30y + 40y = 720$，
移项得$40y - 30y = 720 - 600$，
合并同类项得$10y = 120$，
解得$y = 12$。
把$y = 12$代入$x = 20 - y$，得$x = 20 - 12 = 8$。
所以该市$A$类垃圾处理站有$8$个，$B$类垃圾处理站有$12$个。
$(2)$ 求改建方案及最多日处理垃圾量
解：改建后$A$类垃圾处理站有$(8 + a)$个，$B$类垃圾处理站有$(12 - a)$个。
此时日处理垃圾总量$W=(8 + a)(30 - 5)+(12 - a)×40$，
展开式子得$W=(8 + a)×25+480 - 40a$，
$W = 200 + 25a + 480 - 40a$，
合并同类项得$W=-15a + 680$。
因为$k=-15\lt0$，所以$W$随$a$的增大而减小。
又因为$a\geq3$，且$a$为整数，所以当$a = 3$时，$W$取得最大值。
$W_{max}=-15×3 + 680=-45 + 680 = 635$（吨）。
所以改建方案为将$3$个$B$类垃圾处理站改建成$A$类垃圾处理站，最多日处理垃圾为$635$吨。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{A}$类$\boldsymbol{8}$个，$\boldsymbol{B}$类$\boldsymbol{12}$个；$(2)$改建方案为将$\boldsymbol{3}$个$\boldsymbol{B}$类垃圾处理站改建成$\boldsymbol{A}$类垃圾处理站，最多日处理垃圾$\boldsymbol{635}$吨。