《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1.平面直角坐标系的含义及有关概念.
(1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫作x轴或横轴,铅直的数轴叫作y轴或纵轴.两条数轴的公共原点O称为直角坐标系的原点.

(2)如图3-2-1,对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫作点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫作点P的坐标.

答案： 1.
(1)在平面内，两条互相$垂直$且有$公共原点$数轴组成平面直角坐标系。通常，两条数轴分别置于$水平$位置与$铅直$位置，取向$右$与$上$的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫作$x$轴或$横$轴，铅直的数轴叫作$y$轴或$纵$轴。两条数轴的公共原点$O$称为直角坐标系的$原点$。
(2)如图$3 - 2 - 1$，对于平面内任意一点$P$，过点$P$分别向$x$轴、$y$轴作$垂线$，在$x$轴、$y$轴上对应的数$a$，$b$分别叫作点$P$的$横坐标$、$纵坐标$，有序数对$(a,b)$叫作点$P$的坐标。

2.平面直角坐标系象限的划分.

如图3-2-2,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分,分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限内.
平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成四部分，分别为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

答案： 平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成四部分，分别为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

3.坐标与有序实数对的关系.
在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的点与它对应.因此，平面直角坐标系中的点与有序实数对是平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的关系。

答案： 平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的关系

例 小明,小刚,小红三名同学到公园游玩时走散了,他们以中心广场为坐标原点,以正东、正北方向为$x$轴、$y$轴正方向建立平面直角坐标系(图中每个小正方形的边长表示100m).他们三人通过电话对着景区示意图(如图3-2-3)分别报出了自己的位置.

小明：“我这里的坐标是$(-300,200)$.”
小刚：“我这里的坐标是$(-200,-100)$.”
小红：“我这里的坐标是$(200,-200)$.”
(1)在图中建立平面直角坐标系；
(2)在图中标出小明、小刚、小红在图中所在的位置；
(3)写出音乐台的坐标.
思路提示 根据题意建立平面直角坐标系,并在坐标系中根据点的坐标,确定符合条件的点的位置.在坐标系中,正方向表示正,负方向表示负,横坐标的绝对值、纵坐标的绝对值分别表示点到$y$轴、$x$轴的距离。
尝试解答

答案：
（1）建立平面直角坐标系，如图: 北
（2）小明、小刚、小红在图中所在的位置，见上图。
（3）音乐台的坐标为(0,400)。

变式训练 实验中学组织唱歌比赛,八(3)班选定了三人合唱小组,三人排练时所站的位置$A$,$B$,$C$如图3-2-4：

(1)若$A点的坐标为(0,0)$,$B点的坐标为(2,4)$,则$C$点的坐标为______；
(2)以题(1)中的坐标建立平面直角坐标系,连接$AB$,$AC$,$BC$,求出$\triangle ABC$的面积；
(3)以题(1)中的坐标建立平面直角坐标系,$B$处演唱者保持不动,将$A$处演唱者向上平移1个单位后再向右平移1个单位到$A_1$处,将$C$处演唱者向上平移2个单位到$C_1$处,请判断$\triangle A_1BC_1$是否为直角三角形？为什么？

答案： 变式训练 （1）(5,1)
（2）$S_{\triangle ABC}=4× 5-\frac{1}{2}× 5× 1-\frac{1}{2}× 3× 3-\frac{1}{2}× 2× 4=9$。
（3）$\triangle A_{1}BC_{1}$是直角三角形。理由如下：
$\because A_{1}B^{2}=3^{2}+1^{2}=10$，
$BC_{1}^{2}=3^{2}+1^{2}=10$，
$A_{1}C^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，
$\therefore A_{1}B^{2}+BC_{1}^{2}=A_{1}C^{2}$，
$\therefore$三角形$\triangle A_{1}BC_{1}$是直角三角形。