《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

答案： 正整数；0；负整数；无理数；正无理数；负无理数

2. 无限不循环小数叫作无理数.

答案： 无限不循环小数

3. 设 $ a $ 为实数,则 $ |a| $$\geqslant$$ 0 $,$ a^{2} $$\geqslant$$ 0 $,$ \sqrt{a} $$\geqslant$$ 0(a \geqslant 0) $.

答案： $\geqslant$，$\geqslant$，$\geqslant$

4. 实数 $ a $,$ b $ 互为相反数,则 $ a + b = $0；实数 $ a $,$ b $ 互为倒数,则 $ a \cdot b = $1.

答案： $0$；$1$

5. 实数的运算顺序：先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减. 如果有括号,先算括号里面的.

答案： 乘方、开方；乘除；加减；括号里面的

6. 如果 $ x \geqslant 0 $,且 $ x^{2} = a(a \geqslant 0) $,则 $ x $ 叫作 $ a $ 的 算术平方根,即 $ x = $$\sqrt{a}$.
如果 $ x^{2} = a(a \geqslant 0) $,则 $ x $ 叫作 $ a $ 的 平方根,即 $ x = $$\pm\sqrt{a}$.
如果 $ x^{3} = a $,则 $ x $ 叫作 $ a $ 的 立方根,即 $ x = $$\sqrt[3]{a}$.

答案： 算术平方根，$\sqrt{a}$；平方根，$\pm\sqrt{a}$；立方根，$\sqrt[3]{a}$

7. 一个正数有2个平方根,一个正数有 ______ 1个立方根；$ 0 $ 的平方根是 ______0,$ 0 $ 的立方根是 ______0；一个负数 ______ 没有平方根,一个负数有 ______ 1个立方根.

答案： 2，1，0，0，没有，1。

8. （1）$\sqrt{a^2}=$$a$（$a\geq0$）；
（2）$\sqrt{a^2}=$$a$，$0$，$-a$（$a$为全体实数）；
（3）$(\sqrt{a})^2=$$a$（$a\geq0$）；
（4）$\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0$，$b\geq0$）；
（5）$\sqrt{\frac{a}{b}}=$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）。

答案： $a$；$a$，$0$，$-a$；$a$；$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。

＞ 例 1 同学们玩过“24 点”游戏吗？现在给你一个无理数 $ \sqrt{2} $,请你再找 3 个有理数,使它们经过 3 次运算后得到的结果为 24. 写出一个符合要求的等式.
思路提示 要使无理数 $ \sqrt{2} $ 经过运算后转化为有理数,0 是一个很好的选择.
尝试解答
小结反思 本题以“24 点”游戏为载体考查实数运算,是一道开放型题目.

答案： $\sqrt{2}×0+4×6=24$（答案不唯一）

1. 对于整数 $ m $,$ n $,定义一种新的运算“$ \odot $”：当 $ m + n $ 为偶数时,规定 $ m \odot n = 2|m + n| + |m - n| $；当 $ m + n $ 为奇数时,规定 $ m \odot n = 2|m + n| - |m - n| $. 当 $ m = 2 $,$ n = 4 $ 时, m \odot n = 14.

答案： 1. 14 2. $\sqrt{7}-\sqrt{2}$（答案不唯一）

2. 写出一个无理数,使它与 $ \sqrt{2} + \sqrt{7} $ 的积是有理数：______.

答案： 2. $\sqrt{7}-\sqrt{2}$