《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 有理数：整数和______分数统称有理数.

答案： 整数，分数

2. 设面积为 2 的正方形的边长是 $ a $,则 $ a^{2} = $2. 在等式 $ a^{2} = 2 $ 中,$ a $ 既不是整数,也不是分数,所以 $ a $ 不是有理数.

答案： 2；整数；分数；有理数

例 1
图 2 - 1 - 1 所示的是由五个边长为 1 的小正方形组成的图案,如果把它们剪拼成一个大正方形,请回答下列问题：

(1) 所拼成的大正方形的面积是多少？
(2) 设拼成的大正方形的边长为 $ a $,$ a $ 应满足什么条件？
(3) $ a $ 可能是整数吗？可能是分数吗？是有理数吗？
(4) 画出你拼成的大正方形.
思路提示 ①由于 $ 2^{2} ＜ a^{2} ＜ 3^{2} $,故 $ 2 ＜ a ＜ 3 $,所以 $ a $ 不是整数. 没有一个分数的平方等于 5,所以 $ a $ 不是分数. 因为 $ a $ 既不是整数也不是分数,所以 $ a $ 不是有理数；②因为拼成的大正方形的面积 $ 5 = 1^{2} + 2^{2} $,由此联想勾股定理可以将原图剪成几个两条直角边分别为 1 和 2 的直角三角形,再用这些直角三角形的斜边作为所拼成的大正方形的边长.
尝试解答
小结反思 要说明一个数不是整数,只需说明这个数位于两个相邻的整数之间即可；任何一个不是整数的分数,其平方不可能是整数.

答案：

(1)5个小正方形的面积和是5，故拼成的大正方形的面积是5.
(2)由大正方形的面积是5可知，a应满足$a^{2}=5$.
(3)由于$2^{2}＜a^{2}＜3^{2}$，$\therefore 2＜a＜3$，$\therefore a$不是整数.$\because$没有一个分数的平方等于5，$\therefore a$不是分数，$\therefore a$不是有理数.
(4)拼成的大正方形如图所示(虚线部分).