《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 勾股定理是直角三角形中三边数量关系和数形结合思想的体现. 勾股定理有三种表达形式：$c^{2}=$$a^{2}+b^{2}$,$a^{2}=$$c^{2}-b^{2}$,$b^{2}=$$c^{2}-a^{2}$(其中$a,b$为直角边,$c$为斜边),这些表达式可作为等量关系,用来求边长或者列方程.

答案： $a^{2}+b^{2}$，$c^{2}-b^{2}$，$c^{2}-a^{2}$

2. 怎样利用三边的数量关系判断一个三角形是直角三角形？
若三角形三边a、b、c（c最长）满足$a^2 + b^2 = c^2$，则为直角三角形。.

答案： 若三角形三边a、b、c（c最长）满足$a^2 + b^2 = c^2$，则为直角三角形。

3. 满足两数的平方和等于第三数的平方的三个正整数,叫作勾股数,每组勾股数的正整数倍仍是勾股数.

答案： 两数的平方和等于第三数的平方；正整

＞ 例1 如图1-4-1,梯子$AB长2.5m$,顶端$A靠在墙AC$上,这时梯子下端$B与墙脚C的距离为1.5m$. 一段时间后,梯子下滑停在$DE$的位置上,测得$BD长为0.5m$,求梯子顶端$A$下滑的距离.
思路提示 利用勾股定理,先求出$AC$的长,再求出$EC$的长,可求出梯子顶端下滑的距离.
尝试解答

小结反思 本题考查勾股定理在实际生活中的应用,在$Rt\triangle ABC和Rt\triangle CDE$中分别应用勾股定理是解题的关键.

答案： 在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC =1.5m，
故AC²=AB²-BC²=2.5²-1.5²=2²，
∴AC=2m.
在Rt△CDE中，AB=DE=2.5m，CD=1.5+0.5=2(m)，
故EC²=DE²-CD²=2.5²-2²=1.5²，
∴EC=1.5m，
故AE=AC-CE=2-1.5=0.5(m).
所以梯子顶端A下滑了0.5m.

1. 小明和小亮周末一起在广场上放风筝. 如图1-4-2,为了用勾股定理测量某一时刻天空中风筝的垂直高度$CE$,他们进行了如下操作：
①测得水平距离$BD的长为15$米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BC的长为25$米；
③牵线放风筝的小明的身高$AB为1.6$米.
(1)求风筝的垂直高度$CE$；
(2)如果小明想让风筝沿$CD方向下降12$米,则他应该往回收线多少米？

答案：

(1)由勾股定理得，CD²=BC²-BD²=25²-15²=20²，
∴CD=20米，
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米).
(2)如图，由勾股定理得，
BF²=DF²+BD²
=(20-12)²+15²
=17²，
　　　　　　　　　　　
∴BF=17(米).
∵25-17=8(米)，
∴他应该往回收线8米.