《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 下列方程组中,是三元一次方程组的是(C).
A.$\begin{cases}x + y + z = 3,\\y + z + 3w = 4,\\x + z + w = 5\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y + z = 0,\\y + 2yz = 10,\\x - 2z = 11\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y + z = 3,\\x - y + z = 0,\\x = z + 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + \frac{1}{z} = 4,\\x + z = 5\end{cases} $

答案： 1.C

2. 三元一次方程$x - y + z = 3$有无数个解,下列各组值中不是该方程的解的是(D).
A.$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\\z = 3\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\\z = 2\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\\z = 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2,\\z = 1\end{cases} $

答案： 2.D

3. 已知三元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 3,\\2y + z = 4,\\x + 2z = 5,\end{cases} 则x + y + z$的值是(B).
A.6
B.4
C.7
D.8

答案： 3.B

4. 运用加减法解方程组$\begin{cases}11x + 3z = 9,\\3x + 2y + z = 8,\\2x - 6y + 4z = 5\end{cases} $最简单的方法是(C).
A.先消去$x$
B.先消去$z$
C.先消去$y$
D.先将三个方程相加得到$8x - 2y + 4z = 11$

答案： 4.C

5. 已知方程组$\begin{cases}3x + 5y = k + 2,\\2x + 3y = k,\end{cases} 且x与y$的值之和等于 2,则$k$的值为(A).
A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$

答案： 5.A

6. 现有 A,B,C 三箱橘子,其中 A,B 两箱共 100 个橘子,A,C 两箱共 102 个橘子,B,C 两箱共 106 个橘子. 求每箱各有多少个橘子. 在该题中,若设 A,B,C 箱分别有$x$,$y$,$z$个橘子,则可列方程组为$\left\{\begin{array}{l} x+y=100,\\ x+z=102,\\ y+z=106\end{array}\right.$.

答案： 6.$\left\{\begin{array}{l} x+y=100,\\ x+z=102,\\ y+z=106\end{array}\right. $

7. 解方程组：
(1)$\begin{cases}x + y - z = 6,\\x - 3y + 2z = 10,\\3x + 2y - z = -1;\end{cases} $ (2)$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 5,\\x + z = 6.\end{cases} $

答案： $(1)$解方程组$\begin{cases}x + y - z = 6&(a)\\x - 3y + 2z = 10&(b)\\3x + 2y - z = -1&(c)\end{cases}$
- 消去$z$：
由$(a)$式可得$z=x + y - 6$，将其代入$(b)$式和$(c)$式。
代入$(b)$式：$x-3y + 2(x + y - 6)=10$，展开式子得$x-3y + 2x + 2y-12 = 10$，合并同类项$3x-y=22$ $(d)$。
代入$(c)$式：$3x + 2y-(x + y - 6)=-1$，展开式子得$3x + 2y-x - y + 6=-1$，合并同类项$2x + y=-7$ $(e)$。
求解$x$和$y$：
$(d)+(e)$：$(3x-y)+(2x + y)=22+( - 7)$，即$3x-y+2x + y=15$，$5x = 15$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$(e)$式：$2×3 + y=-7$，$6 + y=-7$，解得$y=-13$。
求解$z$：
把$x = 3$，$y=-13$代入$z=x + y - 6$，得$z=3+( - 13)-6=-16$。
所以方程组$(1)$的解为$\begin{cases}x = 3\\y=-13\\z=-16\end{cases}$。
$(2)$解方程组$\begin{cases}x + y = 3&(f)\\y + z = 5&(g)\\x + z = 6&(h)\end{cases}$
- 消去$y$和$z$求$x$：
$(f)-(g)$得：$(x + y)-(y + z)=3 - 5$，即$x + y-y - z=-2$，$x-z=-2$ $(i)$。
$(h)+(i)$：$(x + z)+(x-z)=6+( - 2)$，$x + z+x-z = 4$，$2x = 4$，解得$x = 2$。
求解$y$：
把$x = 2$代入$(f)$式：$2 + y = 3$，解得$y = 1$。
求解$z$：
把$x = 2$代入$(h)$式：$2 + z = 6$，解得$z = 4$。
所以方程组$(2)$的解为$\begin{cases}x = 2\\y = 1\\z = 4\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 3\\y=-13\\z=-16\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y = 1\\z = 4\end{cases}}$。