《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

19. 甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地,甲乘汽车,乙骑摩托车,甲到达B地停留半个小时后返回A地. 图3是他们离A地的距离$y$(单位：千米)与$x$(单位：时)之间的函数关系图象.]

(1)求甲从B地返回A地的过程中,$y与x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围；
(2)若乙出发后2小时和甲相遇,求乙从A地到B地用了多长时间.

答案： 1. （1）
设甲从$B$地返回$A$地的过程中，$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
由图象可知，函数图象过点$(1.5,90)$，$(3,0)$。
将点$(1.5,90)$，$(3,0)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}1.5k + b = 90\\3k + b = 0\end{cases}$。
用$1.5k + b = 90$减去$3k + b = 0$，得：
$(1.5k + b)-(3k + b)=90 - 0$。
$1.5k + b - 3k - b = 90$。
$-1.5k = 90$，解得$k=-60$。
将$k = - 60$代入$3k + b = 0$，得$3×(-60)+b = 0$，即$-180 + b = 0$，解得$b = 180$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-60x + 180$，自变量$x$的取值范围是$1.5\leqslant x\leqslant3$。
2. （2）
当$x = 2$时，代入$y=-60x + 180$，得$y=-60×2 + 180=-120 + 180 = 60$。
所以乙的速度为$v=\frac{60}{2}=30$（千米/时）。
那么乙从$A$地到$B$地所用时间为$t=\frac{90}{30}=3$（小时）。
综上，（1）$y=-60x + 180$，$1.5\leqslant x\leqslant3$；（2）$3$小时。

20. 如图4,一次函数$y = 2x - 2的图象与一次函数y= \frac{1}{2}x - 1的图象交于点P$；直线$y = 2x - 2与y轴交于点A$,与$x轴交于点C$；直线$y= \frac{1}{2}x - 1与x轴交于点B$. 求：]
(1)点$P$的坐标；
(2)$\triangle PAB$的面积.

答案： 1. 求点$P$的坐标：
解：联立两个一次函数方程$\begin{cases}y = 2x-2\\y=\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$，
因为$2x-2=\frac{1}{2}x - 1$，
移项可得$2x-\frac{1}{2}x=-1 + 2$，
即$\frac{4x - x}{2}=1$，$\frac{3x}{2}=1$，
解得$x=\frac{2}{3}$。
将$x = \frac{2}{3}$代入$y = 2x-2$，得$y=2×\frac{2}{3}-2=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}$。
所以点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$。
2. 求$\triangle PAB$的面积：
对于$y = 2x-2$，令$x = 0$，则$y=-2$，所以$A(0,-2)$；令$y = 0$，则$2x-2 = 0$，解得$x = 1$，所以$C(1,0)$。
对于$y=\frac{1}{2}x - 1$，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x-1 = 0$，解得$x = 2$，所以$B(2,0)$。
由$A(0,-2)$，$B(2,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，这里$AB$的长度可根据$A(0,-2)$，$B(2,0)$，利用$AB$在坐标轴上的截距求，$OA = 2$，$OB = 2$，根据勾股定理$AB=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$（也可利用$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AOP}-S_{\triangle BOP}$）。
另一种方法：
以$AB$为底，$AB$的长度：$A(0,-2)$，$B(2,0)$，根据$AB$在坐标轴上的截距，$\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 0)^2+(0 + 2)^2}=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$（更简单的是用$S=\frac{1}{2}×底×高$，$AB$的长度为$\vert x_{B}-x_{A}\vert$（这里$A$在$y$轴，$B$在$x$轴），$AB$的水平距离$OB = 2$，$A$到$x$轴距离$\vert y_{A}\vert=2$，$P$到$x$轴距离$\vert y_{P}\vert=\frac{2}{3}$。
$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AOP}-S_{\triangle BOP}$。
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$（$OA$是$A$到$x$轴距离，$OB$是$B$到$y$轴距离），$OA = 2$，$OB = 2$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}× OA×\vert x_{P}\vert$，$OA = 2$，$\vert x_{P}\vert=\frac{2}{3}$，所以$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
$S_{\triangle BOP}=\frac{1}{2}× OB×\vert y_{P}\vert$，$OB = 2$，$\vert y_{P}\vert=\frac{2}{3}$，所以$S_{\triangle BOP}=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
则$S_{\triangle PAB}=2-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{6 - 2 - 2}{3}=\frac{2}{3}$。
综上，（1）$P(\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$；（2）$\frac{2}{3}$。