《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

14. 如图 $ 7 $,在平面直角坐标系中,四边形 $ O A B C $ 为正方形,边长为 $ 4 $. 点 $ A $ 在 $ x $ 轴的负半轴上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴的负半轴上. 有一动点 $ P $ 自点 $ O $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度在正方形的边上沿 $ O \to A \to B \to C \to O $ 运动. 在什么时候 $ S _ { \triangle P B C } = 4 $？求出此时点 $ P $ 的坐标.

答案： (-4,-2)或(0,-2)

15. 如图 $ 8 $,已知点 $ A $ 的坐标为 $ ( - 3, - 4 ) $,点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上,$ O B = O A $. 求：(1)$ \triangle A O B $ 的面积；(2)原点 $ O $ 到 $ A B $ 的距离.

答案：
(1)10
(2)$\sqrt{5}$

16. 如图 9,在平面直角坐标系中,已知点 $ A ( a, 0 ) $,$ B ( b, 0 ) $,其中 $ a $,$ b $ 满足 $ \sqrt { a + 1 } + ( b - 3 ) ^ { 2 } = 0 $.
(1) 填空：$ a = $-1,$ b = $3；
(2) 若在第三象限内有一点 $ M ( - 2, m ) $,用含 $ m $ 的式子表示 $ \triangle A B M $ 的面积；
∵a=-1,b=3,
∴A(-1,0)，B(3,0)，
∴AB=4.
∵M(-2,m)，且M在第三象限，
∴m＜0，
∴$S_{\triangle ABM}$=$\frac{1}{2}$×4×(-m)=-2m.
(3) 在题(2)的条件下,线段 $ B M $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ C ( 0, - \frac { 9 } { 10 } ) $,当 $ m = - \frac { 3 } { 2 } $ 时,点 $ P $ 是 $ y $ 轴上的动点,当满足 $ \triangle P B M $ 的面积是 $ \triangle A B M $ 面积的 $ 2 $ 倍时,求点 $ P $ 的坐标.
当m=-$\frac{3}{2}$时，则M(-2,-$\frac{3}{2}$)，
∴$S_{\triangle ABM}$=-2m=-2×(-$\frac{3}{2}$)=3.
∵△PBM的面积=△ABM的面积的2倍=6，
∴△PBM的面积=△MPC的面积+△BPC的面积=$\frac{1}{2}$PC×2+$\frac{1}{2}$PC×3=6，解得PC=$\frac{12}{5}$.
∵C(0,-$\frac{9}{10}$)，
当点P在点C的下方时，
P(0,-$\frac{9}{10}$-$\frac{12}{5}$)，即P(0,-$\frac{33}{10}$)；
当点P在点C的上方时，
P(0,-$\frac{9}{10}$+$\frac{12}{5}$)，即P(0,$\frac{3}{2}$).
综上所述，点P的坐标为(0,-$\frac{33}{10}$)或(0,$\frac{3}{2}$).

答案：
(1)-1 3
(2)
∵a=-1,b=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴AB=4.
∵M(-2,m)，且M在第三象限，
∴m＜0，
∴$S_{\triangle ABM}$=$\frac{1}{2}$×4×(-m)=-2m.
(3)当m=-$\frac{3}{2}$时，则M(-2,-$\frac{3}{2}$)，
∴$S_{\triangle ABM}$=-2m=-2×(-$\frac{3}{2}$)=3.
∵△PBM的面积=△ABM的面积的2倍=6，
∴△PBM的面积=△MPC的面积+△BPC的面积=$\frac{1}{2}$PC×2+$\frac{1}{2}$PC×3=6，解得PC=$\frac{12}{5}$.
∵C(0,-$\frac{9}{10}$)，
当点P在点C的下方时，
P(0,-$\frac{9}{10}$-$\frac{12}{5}$)，即P(0,-$\frac{33}{10}$)；
当点P在点C的上方时，
P(0,-$\frac{9}{10}$+$\frac{12}{5}$)，即P(0,$\frac{3}{2}$).
综上所述，点P的坐标为(0,-$\frac{33}{10}$)或(0,$\frac{3}{2}$).