《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

1. 直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长 $a$,$b$,$c$ 满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形。

答案： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

2. 满足勾股定理的三个正整数,称为勾股数。

答案： 【解析】：根据勾股数的定义，满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数。
【答案】： 勾股定理，正整数
答案（填空答案对应的序号形式（若为选择）这里按题目要求实际是填空但按规则给类似选择序号（实际此处为特定填写方式），本题按要求直接填内容对应的规范填写应为）：第一个空填“勾股定理”，第二个空填“正整数”，若按照类似选择回填概念对应关键信息（此处为适应题目要求特殊填写）可视为对应概念在选项中的代表（但本题非选择，按规则要求填写关键内容）实际按题目要求返回为：
【答案】：（按题目特殊返回要求，此处理解为填写关键内容对应，非传统选择）勾股定理，正整数（而若模拟为选择题目中关键信息对应序号（非真实本题选择），可视为如某选择中1代表勾股定理，2代表正整数之类，但本题直接填关键内容）

例1 已知 $\triangle ABC$ 的三边 $a$,$b$,$c$ 满足以下条件,试判断 $\triangle ABC$ 的形状。
(1) $a = 1.5$,$b = 2$,$c = 2.5$；
(2) $c - a = \frac{1}{2}b$,$c + a = 2b$。
思路提示 除了由三角形的角可以判断三角形的形状外,还可以根据直角三角形的判别条件进行判断。
尝试解答
小结反思 已知三角形的三条边判断其是否为直角三角形的一般步骤如下：
(1) 确定最长边；(2) 分别算出最长边的平方与另外两边的平方和；(3) 若 (2) 中算出的平方和与最长边的平方相等则是直角三角形,不相等则不是直角三角形。

答案： （1）
∵a²+b²=(1.5)²+2²=6.25，c²=(2.5)²=6.25，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形.（2）
∵c+a=2b,c-a=1/2b，
∴(c+a)(c-a)=2b×1/2b，c²-a²=b²，
∴c²=b²+a²，
∴△ABC是直角三角形.

变式训练1 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形。
(1) 三角形的三边长之比为 $5:12:13$；
(2) 在 $\triangle ABC$ 中,$AC = 12$,$AB = 20$,$BC = 16$；
(3) 三角形的三条边长 $a$,$b$,$c$ 满足 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$。

答案： （1)是 （2)是 （3)是