《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

17. 在有理数范围内,规定新运算：$x※y = ax + by + xy$,其中$a$,$b$是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算. 已知$2※1 = 7$,$(-3)※3 = 3$,求$\frac{1}{3}※6$的值.

答案： 解：
已知$x※y = ax + by + xy$，且$2※1 = 7$，$( - 3)※3 = 3$，则可据此列出方程组：
$\begin{cases}2a + b + 2×1 = 7\\ - 3a + 3b + (-3)×3 = 3\end{cases}$
即$\begin{cases}2a + b = 5&(1)\\ - a + b = 4&(2)\end{cases}$
用$(1)$式减去$(2)$式消去$b$可得：
$(2a + b) - (-a + b)=5 - 4$
$2a + b + a - b = 1$
$3a = 1$
解得$a=\frac{1}{3}$
将$a = \frac{1}{3}$代入$(2)$式可得：
$-\frac{1}{3}+b = 4$
解得$b=\frac{13}{3}$
所以$x※y=\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}y+xy$，则$\frac{1}{3}※6$的值为：
$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{13}{3}×6+\frac{1}{3}×6$
$=\frac{1}{9}+26 + 2$
$=\frac{1}{9}+28$
$=28\frac{1}{9}$
综上，$\frac{1}{3}※6$的值为$28\frac{1}{9}$。

18. (2023·山西中考)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的主要通道. 该大桥的限重标志牌显示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行. 现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输. 已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车一次最多可运输多少套这种设备?

答案： $(1)$求$1$个$A$部件和$1$个$B$部件的质量
设$1$个$A$部件的质量是$x$吨，$1$个$B$部件的质量是$y$吨。
根据“$1$个$A$部件和$2$个$B$部件的总质量为$2.8$吨”，可列方程$x + 2y=2.8$；
根据“$2$个$A$部件和$3$个$B$部件的质量相等”，可列方程$2x = 3y$。
则得到方程组$\begin{cases}x + 2y=2.8\\2x = 3y\end{cases}$
由$2x = 3y$可得$x=\frac{3}{2}y$，将其代入$x + 2y=2.8$中：
$\frac{3}{2}y+2y=2.8$
$\frac{3y + 4y}{2}=2.8$
$\frac{7y}{2}=2.8$
$7y=2.8×2$
$7y = 5.6$
$y = 0.8$
把$y = 0.8$代入$x=\frac{3}{2}y$，得$x=\frac{3}{2}×0.8 = 1.2$。
所以$1$个$A$部件的质量是$1.2$吨，$1$个$B$部件的质量是$0.8$吨。
$(2)$求该卡车一次最多可运输这种设备的套数
设该卡车一次可运输$m$套这种设备。
已知卡车自重$8$吨，每套设备由$1$个$A$部件（$1.2$吨）和$3$个$B$部件（$3×0.8$吨）组成，且载重后总质量不超过$30$吨，则可列不等式：
$8+(1.2 + 3×0.8)m\leqslant30$
$8+(1.2 + 2.4)m\leqslant30$
$8 + 3.6m\leqslant30$
$3.6m\leqslant30 - 8$
$3.6m\leqslant22$
$m\leqslant\frac{22}{3.6}=\frac{220}{36}=\frac{55}{9}\approx6.11$
因为$m$为正整数，所以$m$的最大值为$6$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{1.2}$吨，$\boldsymbol{0.8}$吨；$(2)$$\boldsymbol{6}$套。