《2025年新课程助学丛书八年级数学上册北师大版》

11. 下表中每一对$x$,$y的值都满足方程ax + by = 2$.

(1)求$a$,$b$的值；
(2)若关于$x$,$y的方程组\begin{cases}ax - by = m + 4,\\2x + 3y = m\end{cases} 的解满足方程3x - 2y = - 10$,求$m$的值.

答案： 1. （1）
因为每一对$x$，$y$的值都满足方程$ax + by = 2$，将$\begin{cases}x = 2\\y=-2\end{cases}$和$\begin{cases}x = 3\\y=-4\end{cases}$代入方程$ax + by = 2$中，得到方程组：
$\begin{cases}2a-2b = 2\\3a-4b = 2\end{cases}$。
由$2a - 2b = 2$，两边同时除以$2$得$a - b = 1$，即$a=b + 1$。
将$a=b + 1$代入$3a-4b = 2$中，得到$3(b + 1)-4b = 2$。
展开括号：$3b+3-4b = 2$。
移项：$3b-4b=2 - 3$。
合并同类项：$-b=-1$，解得$b = 1$。
把$b = 1$代入$a=b + 1$，得$a=1 + 1=2$。
2. （2）
由（1）知$a = 2$，$b = 1$，则方程组$\begin{cases}ax - by = m + 4\\2x + 3y = m\end{cases}$变为$\begin{cases}2x-y=m + 4\\2x+3y=m\end{cases}$。
用$2x-y=m + 4$减去$2x + 3y = m$：
$(2x-y)-(2x + 3y)=(m + 4)-m$。
展开括号：$2x-y-2x-3y=m + 4-m$。
合并同类项：$-4y = 4$，解得$y=-1$。
把$y=-1$代入$2x+3y = m$，得$2x-3 = m$，即$x=\frac{m + 3}{2}$。
因为方程组的解满足$3x-2y=-10$，把$x=\frac{m + 3}{2}$，$y=-1$代入$3x-2y=-10$中。
得到$3×\frac{m + 3}{2}-2×(-1)=-10$。
方程两边同时乘以$2$：$3(m + 3)+4=-20$。
展开括号：$3m+9 + 4=-20$。
移项：$3m=-20-9 - 4$。
合并同类项：$3m=-33$。
解得$m=-11$。
综上，（1）$a = 2$，$b = 1$；（2）$m=-11$。

12. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数,我们称这个方程组为“关联方程组”.
(1)判断方程组$\begin{cases}3x - y = 4,\\x - 3y = 4\end{cases} $是不是“关联方程组”,并说明理由；
(2)如果关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x + 3y = 4 - a,\\x - y = 3a\end{cases} $是“关联方程组”,求$a$的值.

答案：
(1)方程组{3x-y=4，
x-3y=4
是“关联方程组”，理由如下：
{3x-y=4，①
x-3y=4.②
由(①-②)÷2得x+y=0，
∴方程组{3x-y=4，
x-3y=4
是“关联方程组”.
(2){x+3y=4-a，①
x-y=3a.②
由(①+②)÷2得x+y=2+a.
又
∵{x+3y=4-a，
x-y=3a
是“关联方程组”，
∴x+y=2+a=0.
解得a=-2，
∴a的值为-2.