《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

2. 如图，已知等边三角形 $ABC$，将 $\triangle ABP$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转后与 $\triangle ACP'$ 重合。若 $AP = 6$，则 $PP' =$6。

答案： 2.6.

3. 如图，把 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $26^{\circ}$ 得到 $\triangle A'BC'$，线段 $A'C'$ 恰好过点 $A$，则 $\angle BAC =$77°。

答案： 3.77°.

例题 如图，$\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $45^{\circ}$ 得到 $\triangle AB'C'$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = \sqrt{2}$，求图中阴影部分的面积。

 

答案：
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得△AB'C'，∠BAC=90°，AB=AC=√2，
∴AC'=AC=√2，∠CAC'=45°，∠C'=∠C=45°，BC=√(AB²+AC²)=√(2+2)=2。
∵△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，
∴AD=BC/2=1，∠DAC=45°，故点C'在AD延长线上，DC'=AC'-AD=√2 - 1。
∵∠C'AB=∠BAC - ∠CAC'=45°，B'C'⊥AB，
∴△AFC'为等腰直角三角形，AF=FC'=AC'·sin45°=√2×(√2/2)=1，S△AFC'=1/2×1×1=1/2。
∵∠C'=45°，∠EDC'=90°，
∴△DEC'为等腰直角三角形，DE=EC'=DC'=√2 - 1，S△DEC'=1/2×(√2 - 1)²=1/2×(3 - 2√2)=3/2 - √2。
∴阴影面积=S△AFC' - S△DEC'=1/2 - (3/2 - √2)=√2 - 1。
√2 - 1

变式 如图，将一个钝角三角形 $ABC$（其中 $\angle ABC = 120^{\circ}$）绕点 $B$ 按顺时针方向旋转得到 $\triangle A_1BC_1$，使得点 $C$ 落在 $AB$ 的延长线上的点 $C_1$ 处，连接 $AA_1$。
（1）写出旋转角的度数；
（2）求证：$\angle A_1AC = \angle C_1$。

答案：
(1)60°.
(2)提示:证AA₁//BC,有∠A₁AC=∠C=∠C₁.