《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

1. 若$n$为正整数，试说明$3^{n + 3}-4^{n + 1}+3^{n + 1}-2^{2n}$能被$10$整除.

答案： 1. 解：原式$=3^{n + 1}·(3^{2}+1)-2^{2n}·(2^{2}+1)$
$=3^{n + 1}×10-2^{2n}×5$
$=(3^{n + 1}-2^{2n - 1})×10.$
∵若n为正整数，$3^{n + 3}-4^{n + 1}+3^{n + 1}-2^{2n}$能被10整除.

2. 数学课上，王老师用如图（1）的正方形纸片$2$张，如图（2）的正方形纸片$2$张，如图（3）的长方形纸片$5$张，拼成如图（4）的一个大长方形. 请同学们回答下面的三个问题：
(1) 用一个多项式表示大长方形的面积；
(2) 先表示大长方形的长和宽，再用它们的乘积表示其面积；
(3) 根据(1)(2)所得的结果，写出一个因式分解的等式.

答案： $2. (1)2x^{2}+2y^{2}+5xy.$
(2)长:2x + y,宽:x + 2y;面积:(2x + y)(x + 2y).
$(3)2x^{2}+2y^{2}+5xy=(2x + y)(x + 2y).$

1. 提公因式法的定义：
(1) 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
(2) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2. 确定公因式应考虑以下几点：
(1) 系数：公因式的系数应取各项系数的最大公因数；
(2) 字母：应是各项都含有的字母；
(3) 指数：相同字母的指数取最低次。
3. 用提公因式法因式分解：
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提取负号，使括号内第一项的系数成为正数。在加括号时，多项式的各项都要变号。

答案： 1.
(1)公因式．
(2)公因式，因式乘积．
2.
(1)公因数．
(2)含有．
(3)最低次．
3.提取负号，正数，加括号．