《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

3. 已知：如图，在$□ ABCD$中，点 $E$ 为 $BC$ 边上的一点，且 $AB = AE$. 求证：$\triangle ABC\cong\triangle EAD$.

答案： 3.证明：在$□ ABCD$中，$AD = BC$，$AD // BC$，
$\therefore \angle EAD = \angle AEB$。
$\because AB = AE$，
$\therefore \angle AEB = \angle B$，
$\therefore \angle B = \angle EAD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle EAD$中，
$\because AB = EA$，$\angle B = \angle EAD$，$BC = AD$，
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle EAD(SAS)$。

4. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 2AD$，点 $M$ 为 $AB$ 的中点，连接 $DM$，$MC$，则直线 $DM$ 与 $MC$ 有何位置关系？请说明理由.

答案： 4.解：互相垂直。
理由：点$M$为$AB$的中点，
$\therefore AB = 2AM$。
又$\because AB = 2AD$，
$\therefore AD = AM$。同理，$BM = BC$。
$\therefore \angle ADM = \angle AMD$。
在$□ ABCD$中，$AB // CD$，
$\therefore \angle CDM = \angle AMD$，
$\therefore \angle ADM = \angle CDM$，
即$DM$平分$\angle ADC$。
同理，$CM$平分$\angle BCD$。
在$□ ABCD$中，$AD // BC$，
$\therefore \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle MDC + \angle MCD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DMC = 90^{\circ}$，
$\therefore DM$与$MC$互相垂直。

1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，如果$AC = 12$，$BD = 10$，$AB = m$，那么$m$的取值范围是(A)。

A.$1 ＜ m ＜ 11$
B.$2 ＜ m ＜ 22$
C.$10 ＜ m ＜ 12$
D.$5 ＜ m ＜ 6$

答案： 1.A

2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则图中的全等三角形有(C)。

A.$2$对
B.$3$对
C.$4$对
D.$8$对

答案： 2.C