《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，点 $ F $ 是 $ DE $ 延长线上的点，且 $ EF = DE $，四边形 $ ADCF $ 和四边形 $ BCFD $ 是平行四边形吗？请说明理由.

答案： 3.都是平行四边形，理由略.

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，且 $ CD = CA $，$ CF $ 平分 $ \angle ACB $，$ AE = EB $. 求证：$ EF = \frac{1}{2}BD $.

答案： 证明：
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF。
∵CD=CA，CF=CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS）。
∴AF=DF，即F为AD中点。
∵AE=EB，
∴E为AB中点。
在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，
∴EF是△ABD的中位线。
∴EF=1/2 BD（三角形中位线定理）。

5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD $，点 $ M $，$ N $，$ P $ 分别是 $ AD $，$ BC $，$ BD $ 的中点，$ \angle ABD = 20^{\circ} $，$ \angle BDC = 70^{\circ} $，求 $ \angle PMN $ 的度数.

答案： 5.解:
∵在四边形ABCD中，点M,N，P分别是AD,BC,BD的中点，
∴PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB,PN=$\frac{1}{2}$DC.
∵AB=CD,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形.
∵PM//AB,PN//DC,
∴∠MPD=∠ABD=20°,∠BPN=∠BDC =70°.
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+(180°−70°)=130°.
∴∠PMN=∠PNM=25°.