《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

例题 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，CD 上的点，∠EAF = 45°，△ECF 的周长为 4，则正方形 ABCD 的边长是多少？
解：如图，将△DAF 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°到△BAG 的位置，由题意可得出△DAF≌△BAG，
∴AF = AG，DF = BG，∠DAF = ∠BAG，

∴∠EAG = 45°。
在△FAE 和△GAE 中，
AF = AG，∠FAE = ∠EAG，AE = AE，
∴△FAE≌△GAE(SAS)。
∴EF = EG。
∵△ECF 的周长为 4，
∴EF + EC + FC = 4。
又 FC + EC + EG = FC + BC + BG = BC + FC + DF = 2BC = 4，
∴BC = 2。
∴正方形 ABCD 的边长为 2。

答案： 解：将△DAF绕点A顺时针旋转90°至△BAG的位置，
∴△DAF≌△BAG（旋转性质），
∴AF=AG，DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°，即∠EAG=∠EAF，
在△FAE和△GAE中，
AF=AG，∠FAE=∠GAE，AE=AE，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=EG，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=4，
∵EF=EG，
∴EG+EC+FC=4，
∵EG=BE+BG=BE+DF，
∴BE+DF+EC+FC=4，
∵BE+EC=BC，DF+FC=CD，且BC=CD，
∴BC+CD=4，即2BC=4，
∴BC=2，
∴正方形ABCD的边长为2。

变式 如图，已知在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，CD 上的点，∠EAF = 45°。
求证：EF = BE + DF。

答案： 证明：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=180°-∠ABC=90°=∠D。
在△ABG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠ABG=∠D \\ BG=DF\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ADF（SAS）。
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF。
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°。
∴∠GAE=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF。
在△GAE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l} AG=AF \\ ∠GAE=∠FAE \\ AE=AE\end{array}\right.$
∴△GAE≌△FAE（SAS）。
∴GE=EF。
∵GE=GB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+DF。