《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

3. 若 $x = 3$ 是分式方程 $\frac{a - 2}{x} - \frac{1}{x - 2} = 0$ 的根，则 a 的值是(A).

A.5
B.-5
C.3
D.-3

答案： 3. A.

4. 某车间加工 1 200 个零件后采用了新工艺，工效提高了 50%，这样加工同样多的零件少用 10 h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件. 若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则可列方程为(B).

A.$\frac{1200}{(1 + 50\%)x} - \frac{1200}{x} = 10$
B.$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 + 50\%)x} = 10$
C.$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 - 50\%)x} = 10$
D.$\frac{1200}{(1 - 50\%)x} - \frac{1200}{x} = 10$

答案： 4. B.

5. 赵强同学借了一本书，共 280 页，计划在两周的时间内读完. 当他读了一半时，发现平均每天要多读 21 页才能在计划的时间内读完，求他读前一半时平均每天读多少页. 如果设读前一半时平均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是(C).

A.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x - 21} = 14$
B.$\frac{280}{x} + \frac{280}{x + 21} = 14$
C.$\frac{140}{x} + \frac{140}{x + 21} = 14$
D.$\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 21} = 1$

答案： 5. C.

6. 当 $m =$3时，分式方程 $\frac{4mx + 3}{m + 2x} = 3$ 的解是 $x = 1$.

答案： 6. 3.

7. 甲、乙两火车站相距 1 280 km，“和谐号”动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的 3.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短了 11 h，求列车提速后的速度. 试列出方程.

答案： 7. 解：设列车提速前的速度为$x$ km/h，则提速后的速度为$3.2x$ km/h.
根据题意，列方程为$\frac{1280}{x}-\frac{1280}{3.2x}=11$.

阅读下列材料：
关于 x 的方程 $x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}$ 的解为 $x_1 = c$，$x_2 = \frac{1}{c}$；
$x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c}$（即 $x + \frac{-1}{x} = c + \frac{-1}{c}$）的解为 $x_1 = c$，$x_2 = -\frac{1}{c}$；
$x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}$ 的解为 $x_1 = c$，$x_2 = \frac{2}{c}$；
$x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c}$ 的解为 $x_1 = c$，$x_2 = \frac{3}{c}$.
(1) 请观察上述方程与解的特征，比较它们与关于 x 的方程 $x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}$（$m \neq 0$）的关系，猜想该方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
(2) 由上述观察、比较、猜想、验证，可得出结论：如果方程左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，则这样的方程可以直接得解.
请用这个结论解关于 x 的方程：$x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$.

答案：
(1)$x_1=c$和$x_2=\frac{m}{c}$
验证$x=\frac{m}{c}$
左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=\frac{m}{c}+c=$右边，
所以$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$.
(2)$(x-1)+\frac{2}{x-1}=(a-1)+\frac{2}{a-1}$，
所以$x_1-1=a-1,x_2-1=\frac{2}{a-1}$.
所以$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}$.