《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

2. 已知 $\triangle ABC$ 为等边三角形，点 $D$，$F$ 分别是 $BC$，$AB$ 上的点，且 $CD = BF$，以 $AD$ 为边作等边三角形 $ADE$.
（1）求证：$\triangle ACD$ 与 $\triangle CBF$ 全等.
（2）当点 $D$ 在线段 $BC$ 上何处时，四边形 $CDEF$ 是平行四边形，且 $\angle DEF = 30^{\circ}$？证明你的结论.

答案： 2．
(1)证明：在△ACD和△CBF中，
∵CD=BF，∠ACD=∠B=60°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBF．
(2)解：当点D在线段BC的中点处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°．
证明如下：连接BE，在△AEB和△ADC中，
∵AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD
=60°，
∴∠EAB=∠DAC．
又AE=AD，
∴△AEB≌△ADC．
∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，
∴△EFB为等边三角形，
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°．
∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF//BC，
∴EF//CD，
∴四边形CDEF为平行四边形.
∵点D是线段BC的中点，
∴点F是线段AB的中点.
由等腰三角形三线合一性质，
得∠FCD=$\frac{1}{2} × 60°=30°$，
从而∠DEF=∠FCD=30°．

1. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

答案： 1 互相平分

2. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，下列判断正确的是(D).

A.若 $AO = CO$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形
B.若 $AC = BD$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形
C.若 $AO = BO$，$CO = DO$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形
D.若 $AO = CO$，$BO = DO$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形

答案： 2 D

例题
如图，$AD$ 为 $\triangle ABC$ 的中线，点 $E$ 为 $AC$ 上一点，连接 $BE$，交 $AD$ 于点 $F$，且 $AE = FE$. 求证：$BF = AC$.
 

 

答案： 证明：
延长 $AD$ 到点 $N$，使 $DN = AD$，连接 $BN$，$CN$，
$\because AD$ 为 $\triangle ABC$ 的中线，
$\therefore BD = CD$，
$\because AD = DN$，
$\therefore$ 四边形 $ABNC$ 是平行四边形，
$\therefore BN = AC$，$BN // AC$，
$\therefore \angle FAE = \angle BND$，
$\because AE = FE$，
$\therefore \angle FAE = \angle AFE$，
$\because \angle AFE = \angle BFD$，
$\therefore \angle BFD = \angle FAE$，
$\because \angle FAE = \angle BND$，
$\therefore \angle BFD = \angle BND$，
$\therefore BN = BF$，
$\therefore BF = AC$。