《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别为边 $AD$，$BC$ 上的点，若 $AE = CF$，
求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形.

答案：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$。
∵ $AE = CF$，
∴ $ED = AD - AE = BC - CF = BF$。
∵ $ED // BF$（由 $AD // BC$ 得出），
∴ 四边形 $DEBF$ 中，$ED // BF$ 且 $ED = BF$，
∴ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形。

5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，点 $E$，$F$ 为对角线 $AC$ 上的两点，且 $AF = CE$，$DF// BE$. 求证：四边形 $ABCD$ 为平行四边形.

答案： 5．提示：通过证明△ADF≌△CBE，得出AD=BC．
再由AD//BC，得到四边形ABCD为平行四边形．

1. 如图，在等腰三角形纸片 $ABC$ 中，$AB = AC$，把 $\angle B$ 沿 $EM$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $D$ 上，把 $\angle C$ 沿 $FN$ 折叠，使点 $C$ 也落在点 $D$ 上.
（1）四边形 $AEDF$ 是平行四边形吗？请说明理由.
（2）小明又量出 $AB = 10\ cm$，则四边形 $AEDF$ 的周长是多少？

答案： 1．解：
(1)四边形AEDF是平行四边形．
理由：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
根据折叠的性质，∠B=∠BDE，∠C=∠CDF．
∴∠B=∠CDF，∠C=∠BDE．
∴DF//AB，DE//AC．
∴四边形AEDF是平行四边形．
(2)根据折叠的性质，BE=DE，CF=DF，
∴AE+ED=AB，DF+AF=AC．
∵AB=AC，AB=10cm，
∴四边形AEDF的周长=AB+AC=2AB=
20cm．