《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

1. 如图，点 $ M $ 是 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 的中点，$ AN $ 平分 $ \angle BAC $，$ BN \perp AN $ 于点 $ N $，延长 $ BN $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，连接 $ MN $. 已知 $ AB = 10 $，$ BC = 15 $，$ MN = 3 $.
(1) 求证：$ BN = DN $；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： 1.
(1)略.　　
(2)41.

2. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ AB $，$ AC $ 上，$ EF // BC $，且 $ EF = \frac{1}{2}BC $，延长 $ EF $ 到点 $ G $，使得 $ FG = EF $，连接 $ CG $.
求证：(1) 四边形 $ BCGE $ 是平行四边形；
(2) 点 $ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点.

答案： 2.证明:
(1)
∵EF=$\frac{1}{2}$BC,FG=EF,
∴EG=BC.
　又EF//BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)
∵四边形BCGE是平行四边形，
∴AB//GC,BE=GC.
∴∠A=∠FCG.
　在△AEF和△CGF中,
　∠A=∠FCG,∠AFE=∠CFG,EF=FG,
∴△AEF≌△CGF,
∴AF=FC,AE=GC.
　又BE=GC,
∴AE=BE,
　即点E,F分别是AB,AC的中点.

3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD $，$ M $，$ N $ 分别为 $ AD $，$ BC $ 的中点，延长 $ BA $，$ CD $ 分别交 $ NM $ 的延长线于点 $ E $，$ F $. 求证：$ \angle 1 = \angle F $.

答案：
3.证明:如图所示，连接AC，取AC的中点G，连接MG,NG.
　　　　　　　　
∵N是BC的中点，
∴NG=$\frac{1}{2}$AB,NG//AB.
∴∠GNM=∠1.
∵M是AD的中点，
∴MG=$\frac{1}{2}$CD,MG//CD,
∴∠GMN=∠F.
∵AB=CD,
∴MG=NG,
∴∠GMN=∠GNM,
∴∠1=∠F.