《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

3. 先化简，再求值：$1 - \frac{x - 1}{x} ÷ (\frac{x}{x + 2} - \frac{1}{x^{2} + 2x})$，其中$x = -\frac{1}{2}$.

答案： 3. 原式=$-\frac {1} {x + 1}$. 当$x = -\frac {1} {2}$时，原式=$-2$.

4. 已知甲、乙两个港口间的距离为$50$km，水流速度为$a$km/h，一艘轮船在静水中的速度为$b$km/h. 轮船往返两个港口之间一次，需要多长时间？

答案： 4. $\frac {100b} {b^2 - a^2}$ h.

1. 先化简，再求值：$(\frac{3a - 1}{a + 1} - a + 1) ÷ \frac{a^{2} - 6a + 9}{a + 1}$，从$-1 \leq a \leq 3$中选出合适的最小整数值代入求值.

答案： 1. 原式=$-\frac {a} {a - 3}$.
当$a = 0$时，原式=$0$.

2. 观察等式：$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$，$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$，…
将上面前三个等式两边分别相加，得
$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4}$.
(1) 猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)} =$$\frac {1} {n} - \frac {1} {n + 1}$；
(2) 根据以上规律计算：
①$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ·s + \frac{1}{2023 × 2024} + \frac{1}{2024 × 2025}$；
②$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + ·s + \frac{1}{n(n + 1)}$.
③ 计算：$\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + ·s + \frac{1}{(x + 2024)(x + 2025)} =$$\frac {2025} {x^2 + 2025x}$.

答案： 2. 解：
(1) $\frac {1} {n} - \frac {1} {n + 1}$
(2) ① 原式=$1 - \frac {1} {2} + \frac {1} {2} - \frac {1} {3} + ·s + \frac {1} {2024} - \frac {1} {2025}$
=$1 - \frac {1} {2025} = \frac {2024} {2025}$;
② 原式=$1 - \frac {1} {2} + \frac {1} {2} - \frac {1} {3} + ·s + \frac {1} {n} - \frac {1} {n + 1} = 1 - \frac {1} {n + 1} = \frac {n} {n + 1}$
③ $\frac {2025} {x^2 + 2025x}$