《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

4. 分式方程$\frac{x}{x - 3}=2-\frac{3}{3 - x}$无解解(填“有”或“无”)。

答案： 4.无解。

5. 当分式$\frac{x + 2}{x - 1}$与分式$\frac{x^{2}+3x + 2}{x^{2}-1}$的值相等时，须满足x≠±1。

答案： 5.x≠±1.

例1 已知关于$x$的方程$\frac{2}{x - 2}+\frac{mx}{x^{2}-4}=\frac{3}{x + 2}$。
（1）当$m$为何值时会产生增根？
（2）当$m$为何值时，分式方程无解？
 

答案： （1）方程两边同乘以$(x + 2)(x - 2)$得：
$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$，
去括号得：
$2x + 4 + mx = 3x - 6$，
移项整理得：
$(m - 1)x = -10$，
方程的增根为$x = 2$或$x = -2$，
当$x = 2$时，代入$(m - 1)x = -10$，得$m = -4$；
当$x = -2$时，代入$(m - 1)x = -10$，得$m = 6$；
所以当$m = -4$或$m = 6$时，原方程会产生增根。
（2）由（1）知，当$m = -4$或$m = 6$时，原方程会产生增根，此时分式方程无解；
当$m - 1 = 0$时，即$m = 1$时，方程$(m - 1)x = -10$无解，此时分式方程也无解；
因此当$m = -4$或$m = 6$或$m = 1$时，分式方程无解。

例2 若关于$x$的方程$\frac{a + 1}{x - 1}=1$的解为正数，求$a$的取值范围。
 

答案： 解：
方程两边都乘$x - 1$，得：
$a + 1 = x - 1$，
解这个方程，得：
$x = a + 2$，
因为方程的解为正数，所以：
$a + 2 ＞ 0$，
即：
$a ＞ -2$，
因为分式方程分母不能为0，所以：
$x - 1 \neq 0$，
即：
$a + 2 - 1 \neq 0$，
解得：
$a \neq -1$，
综上，$a$的取值范围是：
$a ＞ -2$ 且 $a \neq -1$。