《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

4. 已知：如图，点 $E$，$F$ 是 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$. 求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形.

答案： 4 提示：连接BD，交AC于点O，通过证明OE=OF，OB=OD，得到四边形BFDE是平行四边形.

5. 如图所示，将 $□ ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线 $l$ 折叠，使点 $D$ 落到 $AB$ 边上的点 $D'$ 处，折痕 $l$ 交 $CD$ 边于点 $E$，连接 $BE$.
（1）求证：四边形 $BCED'$ 是平行四边形；
（2）若 $BE$ 平分 $\angle ABC$，求证：$AB^{2} = AE^{2} + BE^{2}$.

答案： 5 证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,∠D=∠ABC. 由折叠知∠D=∠AD'E，
∴∠AD'E=∠ABC，
∴ED'//BC，
∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠D'BE.
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠EAB+∠EBA=$\frac{1}{2}$(∠DAB+∠CBA)=90°，
∴∠AEB=90°.
∴$AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$.

如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在线段 $OA$，$OC$ 上，且 $OB = OD$，$\angle 1 = \angle 2$，$AE = CF$. 求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

答案： 提示：通过证△BEO≌△DFO，得到OE=OF. 又因为