《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

2. 如图，在□ABCD中，点E是DC的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC，交BD于点O，连接OF. 求证：AB=2OF.

答案： 2．证明：
∵CE//AB，
∴∠E=∠BAF,∠FCE=∠FBA.
又CE=CD=AB，
∴△FCE≌△FBA,
∴BF=FC，
∴点F是BC的中点.
∵点O是AC的中点，
∴OF是△CAB的中位线，
∴AB=2OF.

1. 经过三角形一边的中点且平行于另一边的直线，必平分三角形的第三边.

答案： 中点；另一边；第三边

2. 已知点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ \triangle ABC $ 三边的中点，且 $ S_{\triangle DEF}=3 $，则 $ \triangle ABC $ 的面积等于(C).

A.$ 6 $
B.$ 9 $
C.$ 12 $
D.$ 15 $

答案： 2.C.

3. 如图，$ EF $ 是 $ \triangle ABC $ 的中位线，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，交 $ EF $ 于点 $ D $，若 $ DE = 2 $，则 $ EB $ 的长为2.

答案： 3.2.

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 为边 $ BC $ 的中点，过点 $ D $ 作 $ DE // AB $，交 $ AC $ 于点 $ E $，作 $ DF // AC $，交 $ AB $ 于点 $ F $.
求证：$ BF = DE $.

答案： 证明：
∵点 $ D $ 为 $ BC $ 中点，
∴ $ BD = DC $.
∵ $ DE // AB $，$ DF // AC $，
∴四边形 $ AFDE $ 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ $ AF = DE $.
∵ $ DF // AC $，
∴ $ \angle BFD = \angle A $（两直线平行，同位角相等）.
∵ $ DE // AB $，
∴ $ \angle DEC = \angle A $（两直线平行，同位角相等），
∴ $ \angle BFD = \angle DEC $.
在 $ \triangle BFD $ 和 $ \triangle CED $ 中：
$ \begin{cases} \angle BFD = \angle CED, \\\angle B = \angle CDE \, (DE // AB，内错角相等), \\BD = DC,\end{cases} $
∴ $ \triangle BFD \cong \triangle CED \, (AAS) $.
∴ $ BF = CE $.
又
∵四边形 $ AFDE $ 是平行四边形，
∴ $ AF = DE $，且由 $ DF // AC $ 及 $ D $ 为 $ BC $ 中点，得 $ F $ 为 $ AB $ 中点（三角形中位线定理的推论），
∴ $ AF = BF $.
∴ $ BF = DE $.
结论： $ BF = DE $.