《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别是 $BC$，$AD$ 上的点，且 $AE// CF$，那么 $AE$ 与 $CF$ 相等吗？说明理由。

答案： 3.相等，理由略.

例题 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\triangle ABD$ 是等边三角形，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，连接 $CE$ 并延长，交 $AD$ 于点 $F$。
求证：(1) $\triangle AEF\cong\triangle BEC$；
(2) 四边形 $BCFD$ 是平行四边形。
 

答案：
(1)
在$\triangle ABC$中，
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle ABC = 180^{\circ}-\angle ACB - \angle CAB=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
在等边$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle BAD = \angle ABC = 60^{\circ}$。
$\because$点$E$为$AB$的中点，
$\therefore AE = BE$。
又$\because\angle AEF = \angle BEC$，
在$\triangle AEF$和$\triangle BEC$中，
$\begin{cases}\angle BAD=\angle ABC\\AE = BE\\\angle AEF=\angle BEC\end{cases}$
$\therefore\triangle AEF\cong\triangle BEC(ASA)$。
(2)
在$\triangle ABC$中，
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，点$E$为$AB$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}AB$，$BE=\frac{1}{2}AB$。
$\therefore CE = AE = BE$，
$\therefore\angle BCE=\angle EBC = 60^{\circ}$。
又$\because\triangle AEF\cong\triangle BEC$，
$\therefore\angle AFE=\angle BCE = 60^{\circ}$。
$\because\triangle ABD$是等边三角形，
$\therefore\angle D = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle AFE=\angle D$，
$\therefore FC// BD$。
又$\because\angle BAD=\angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore AD// BC$，即$FD// BC$。
$\therefore$四边形$BCFD$是平行四边形。

变式 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$CD$ 上的点，且 $AE = CF$，连接 $EF$，交 $BD$ 于点 $O$，则 $BD$ 与 $EF$ 互相平分吗？请说明理由。
变式题图

答案： 互相平分，理由略.