《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(B).

A.$AB// DC$，$AD// BC$
B.$AB// DC$，$AD = BC$
C.$AB// DC$，$AB = DC$
D.$AB = DC$，$AD = BC$

答案： 1．B．

2. 下列能判定四边形是平行四边形的条件是(D).

A.一组对边平行，另一组对边相等
B.一组对边相等，一组邻角相等
C.一组对边平行，一组邻角相等
D.一组对边平行，一组对角相等

答案： 2．D．

3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE$ 平分 $\angle BAD$，交 $CD$ 于点 $E$，$CF$ 平分 $\angle BCD$，交 $AB$ 于点 $F$.
求证：四边形 $AFCE$ 是平行四边形.

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，$\angle BAD = \angle BCD$，$AD = BC$，$\angle D = \angle B$。
∵ $AE$ 平分 $\angle BAD$，$CF$ 平分 $\angle BCD$，
∴ $\angle DAE = \frac{1}{2}\angle BAD$，$\angle BCF = \frac{1}{2}\angle BCD$，
∴ $\angle DAE = \angle BCF$。
在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中，
$\begin{cases}\angle D = \angle B, \\AD = CB, \\\angle DAE = \angle BCF,\end{cases}$
∴ $\triangle ADE \cong \triangle CBF$（ASA），
∴ $DE = BF$。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB - BF = CD - DE$，即 $AF = CE$。
又
∵ $AF // CE$，
∴ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形。
结论：四边形 $AFCE$ 是平行四边形。

例题 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，点 $F$ 是 $AD$ 的中点，延长 $BC$ 到点 $E$，使 $CE=\frac{1}{2}BC$，连接 $DE$.
求证：四边形 $CEDF$ 是平行四边形.
 

 

答案： 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$。
∵ 点 $F$ 是 $AD$ 的中点，
∴ $FD = \frac{1}{2}AD$。
∵ $CE = \frac{1}{2}BC$，且 $AD = BC$，
∴ $FD = CE$。
∵ $AD // BC$，
∴ $FD // CE$。
∵ $FD // CE$ 且 $FD = CE$，
∴ 四边形 $CEDF$ 是平行四边形。