《2025年初中同步练习册八年级数学上册鲁教版54制山东教育出版社》

2. 【问题解决】数学课上，老师提出了这样一个问题：如图（1）所示，点 $ P $ 是正方形 $ ABCD $ 内一点，$ PA = 1 $，$ PB = 2 $，$ PC = 3 $。你能求出 $ \angle APB $ 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 $ \triangle BPC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到 $ \triangle BP'A $，连接 $ PP' $，求出 $ \angle APB $ 的度数；
思路二：将 $ \triangle APB $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到 $ \triangle CP'B $，连接 $ PP' $，求出 $ \angle APB $ 的度数。
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程。
【类比探究】
如图（2）所示，若点 $ P $ 是正方形 $ ABCD $ 外一点，$ PA = 3 $，$ PB = 1 $，$ PC = \sqrt{11} $。求 $ \angle APB $ 的度数。

答案：
2.解:[问题解决]选择思路一:
如图
(1)所示，$\because$将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90°$，得到$\triangle BP'A$，连接$PP'$，
$\therefore BP' = BP = 2$，$\angle PBP' = 90°$，$AP' = PC = 3$，$\therefore PP' = 2\sqrt{2}$，$\angle P'PB = 45°$.
$\because AP^2 + PP'^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 = AP'^2$，$\therefore \angle APP' = 90°$，
$\therefore \angle APB = 135°$.
同理可由思路二求得$\angle APB = 135°$.
[类比探究]如图
(2)所示，将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90°$，得到$\triangle BP'A$，连接$PP'$，
$\therefore P'B = PB = 1$，$\angle PBP' = 90°$，$AP' = PC = \sqrt{11}$，$\therefore PP' = \sqrt{2}$，$\angle P'PB = 45°$.
$\because PA^2 + PP'^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 11 = AP'^2$，
$\therefore \angle APP' = 90°$，$\therefore \angle APB = 45°$.