《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

21. (2023·长沙一模)如图,$ Rt\triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,直线DE是边AB的垂直平分线,连接BE.
(1) 若$ \angle A = 35^{\circ} $,求$ \angle CBE $的度数;20°
(2) 若$ AE = 13 $,$ EC = 5 $,求$ \triangle ABC $的面积.108

答案：
(1)
∵ ∠C = 90°,∠A = 35°,
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 55°.
∵ DE是AB的垂直平分线,
∴ AE = BE,
∴ ∠EBA = ∠A = 35°,
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠EBA = 55° - 35° = 20°;
(2) 在Rt△ECB中,∠C = 90°,EC = 5,BE = AE = 13,由勾股定理得:BC = √(BE² - EC²) = 12.
∵ AE = 13,EC = 5,
∴ AC = AE + EC = 13 + 5 = 18,
∴ △ABC的面积是1/2 × BC × AC = 108.

22. 如图,在$ Rt\triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ BC = 6 $,若点P是边AB上的一个动点,以每秒3个单位的速度按照从$ A\rightarrow B\rightarrow A $运动,同时点Q从$ B\rightarrow C $以每秒1个单位的速度运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.在运动过程中,设运动时间为t,当t为何值时,$ \triangle BPQ $为直角三角形?

答案：
① 如图1,当∠BQP = 90°时,则∠BPQ = 30°,BP = 2BQ.
∵ BP = 12 - 3t,BQ = t,
∴ 12 - 3t = 2t,解得:t = 12/5.② 如图2,当∠QPB = 90°时,
∵ ∠B = 60°,
∴ ∠BQP = 30°,
∴ BQ = 2BP,若0 ＜ t ＜ 4,则t = 2(12 - 3t),t = 24/7;若4 ＜ t ≤ 6时,则t = 2(3t - 12),t = 24/5.故答案为12/5,24/7,24/5.

23. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的"面积法"给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用"面积法"来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中$ \angle DAB = 90^{\circ} $,求证:$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
证明:连接DB,DC,过点D作BC边上的高DF,则$ DF = EC = b - a $.
$ \because S_{四边形ADCB} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}ab $.
又$ \because S_{四边形ADCB} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle DCB} = \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a(b - a) $,
$ \therefore \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}a(b - a) $,
$ \therefore a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中$ \angle DAB = 90^{\circ} $.求证:$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.

答案：
连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF = b - a,
∵ S五边形ACBED = S△ACB + S△ABE + S△ADE = 1/2 ab + 1/2 b² + 1/2 ab,又
∵ S五边形ACBED = S△ACB + S△ABD + S△BDE = 1/2 ab + 1/2 c² + 1/2 a(b - a),
∴ 1/2 ab + 1/2 b² + 1/2 ab = 1/2 ab + 1/2 c² + 1/2 a(b - a),
∴ a² + b² = c².