《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

17. (2024 秋·岱岳区期末)在$\triangle ABC$中,$AB=AC$.
(1)$AD$是$BC$上的高,$AD=AE$.
①如图 1,如果$∠BAD=20^{\circ }$,则$∠EDC=$10$^{\circ }$;
②如图 2,如果$∠BAD=50^{\circ }$,则$∠EDC=$25$^{\circ }$.
(2)思考:通过以上两小题,你发现$∠BAD$与$∠EDC$之间有什么关系? 请用式子表示:__________∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD.
(3)如图 3,如果$AD$不是$BC$上的高,$AD=AE$,是否仍有上述关系? 如有,请你写出来,并说明理由.

答案：
(1)①在△ABC 中,AB=AC,AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=20°,
∴∠BAD=∠CAD=20°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=80°.
∵AD是BC上的高，
∴∠EDC=90°−∠ADE=10°.故答案为:10;
②
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠BAD=50°,
∴∠BAD=∠CAD=50°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=65°,
∴∠EDC=25°.故答案为:25;　　
(2)∠EDC= $ \frac{1}{2} $ ∠BAD.故答案为:∠EDC= $ \frac{1}{2} $ ∠BAD;　
(3)仍成立，理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,又
∵AB=AC,
∴　∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC,即∠EDC= $ \frac{1}{2} $ ∠BAD.

18. (2024 秋·吉林期末)【定义】如果一个三角形的两个内角$\alpha$与$\beta$满足$2\alpha -\beta =90^{\circ }$,那么我们称这样的三角形为“非余三角形”.
(1)如图,若$\triangle ABC$是等边三角形,$BD$是$AC$边的中线,请你判断$\triangle ABD$是否为“非余三角形”,并说明理由;
(2)若$\triangle ABC$是“非余三角形”,$∠A=54^{\circ }$,则$\triangle ABC$中最小角的度数为______18°.

答案：
(1)△ABD是“非余三角形”,理由如下:
∵△ABC是等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC,BD平分∠ABC,
∴△ABD中,∠A=60°,∠ABD=30°,∠ADB=90°,
∴2∠A−∠ABD=90°,
∴△ABD是“非余三角形”;　　
(2)△ABC是“非余三角形”,∠A=54°,①可令∠B=α,∠C=β, $ \begin{cases} 2 \alpha - \beta = 90^\circ, \\ \alpha + \beta + 54^\circ = 180^\circ, \end{cases} $ 解得α=72°,β=54°,
∴此时α+β+54°=180°,△ABC中最小角的度数为54°,②可令∠A=α=54°,∠B=β,
∴2α−β=90°,
∴2×54°−β=90°,
∴β=18°,
∴∠C=180°−54°−18°=108°,
∴此时△ABC中最小角的度数为18°,综上所述，若△ABC是“非余三角形”,∠A=54°,则△ABC中最小角的度数为18°.故答案为:18°.