《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

18. (2024·长沙)如图，点C在线段AD上，$AB=AD$，$∠B=∠D$，$BC=DE$.
(1) 求证：$\triangle ABC≌\triangle ADE$；
证明：在 $△ABC$ 和 $△ADE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { BC = DE, } \\ { ∠B = ∠D, } \\ { AB = AD, } \end{array} \right. ∴ △ABC ≌ △ADE$ (SAS)
(2) 若$∠BAC=60^{\circ }$，求$∠ACE$的度数.
解：由 (1) 得 $△ABC ≌ △ADE$ $∴ AC = AE$，$∠BAC = ∠DAE = 60 ^ { \circ }$，$∴ ∠AEC = ∠ACE$，$∵ ∠AEC + ∠ACE = 2 ∠ACE = 180 ^ { \circ } - ∠DAE = 120 ^ { \circ }$，$∴ ∠ACE = $$60^{\circ }$

答案：
(1) 证明：在 $△ABC$ 和 $△ADE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { BC = DE, } \\ { ∠B = ∠D, } \\ { AB = AD, } \end{array} \right. ∴ △ABC ≌ △ADE ( SAS )$
(2) 解：由
(1) 得 $△ABC ≌ △ADE$ $∴ AC = AE$，$∠BAC = ∠DAE = 60 ^ { \circ }$，$∴ ∠AEC = ∠ACE$，$∵ ∠AEC + ∠ACE = 2 ∠ACE = 180 ^ { \circ } - ∠DAE = 120 ^ { \circ }$，$∴ ∠ACE = 60 ^ { \circ }$

19. (2023·长沙)如图，$AB=AC$，$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，垂足分别为D，E.求证：$\triangle ABE≌\triangle ACD$.

证明：$∵ CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，$∴ ∠AEB = ∠ADC = 90 ^ { \circ }$ 在 $△ABE$ 和 $△ACD$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠AEB = ∠ADC, } \\ { ∠BAE = ∠CAD, } \\ { AB = AC, } \end{array} \right. ∴ △ABE ≌ △ACD ( AAS )$

答案： $∵ CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，$∴ ∠AEB = ∠ADC = 90 ^ { \circ }$ 在 $△ABE$ 和 $△ACD$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠AEB = ∠ADC, } \\ { ∠BAE = ∠CAD, } \\ { AB = AC, } \end{array} \right. ∴ △ABE ≌ △ACD ( AAS )$

20. (2023·大连)如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，延长BC交DE于F.$BC=DE$，$AC=AE$，$∠ACF+∠AED=180^{\circ }$.求证：$AB=AD$.

证明：∵ ∠ACB + ∠ACF = ∠ACF + ∠AED = 180 ^ { \circ }，∴ ∠ACB = ∠AED 在 △ABC 和 △ADE 中，$\left\{ \begin{array} { l } { BC = DE, } \\ { ∠ACB = ∠AED, } \\ { AC = AE, } \end{array} \right.$∴ △ABC ≌ △ADE ( SAS )，∴ AB = AD

答案： $∵ ∠ACB + ∠ACF = ∠ACF + ∠AED = 180 ^ { \circ }$，$∴ ∠ACB = ∠AED$ 在 $△ABC$ 和 $△ADE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { BC = DE, } \\ { ∠ACB = ∠AED, } \\ { AC = AE, } \end{array} \right. ∴ △ABC ≌ △ADE ( SAS )$，$∴ AB = AD$

21. (2024·南充)如图，在$\triangle ABC$中，点D为BC边的中点，过点B作$BE// AC$交AD的延长线于点E.
(1) 求证：$\triangle BDE≌\triangle CDA$.证明：$∵$ 点 $D$ 为 $BC$ 的中点，$∴ BD = CD$，$∵ BE // AC$，$∴ ∠EBD = ∠C$，$∠E = ∠CAD$，在 $△BDE$ 和 $△CDA$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠EBD = ∠C, } \\ { ∠E = ∠CAD, } \\ { BD = CD, } \end{array} \right. ∴ △BDE ≌ △CDA ( AAS )$
(2) 若$AD⊥BC$，求证：$BA=BE$.证明：$∵$ 点 $D$ 为 $BC$ 的中点，$AD ⊥ BC$，$∴$ 直线 $AD$ 为线段 $BC$ 的垂直平分线，$∴ BA = CA$，由 (1) 可知：$△BDE ≌ △CDA$，$∴ BE = CA$，$∴ BA = BE$

答案：
(1) 证明：$∵$ 点 $D$ 为 $BC$ 的中点，$∴ BD = CD$，$∵ BE // AC$，$∴ ∠EBD = ∠C$，$∠E = ∠CAD$，在 $△BDE$ 和 $△CDA$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { ∠EBD = ∠C, } \\ { ∠E = ∠CAD, } \\ { BD = CD, } \end{array} \right. ∴ △BDE ≌ △CDA ( AAS )$；
(2) 证明：$∵$ 点 $D$ 为 $BC$ 的中点，$AD ⊥ BC$，$∴$ 直线 $AD$ 为线段 $BC$ 的垂直平分线，$∴ BA = CA$，由
(1) 可知：$△BDE ≌ △CDA$，$∴ BE = CA$，$∴ BA = BE$