《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

9. (2024秋·信都区期末)在学校组织的研学活动中,需要学生自己搭建帐篷.如图是搭建帐篷的示意图.在$\triangle ABC$中,支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上,且$AD⊥BC$于点D,经测量得:$AB=2m,AD=1.2m,CD=0.9m$.按照要求,帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角,请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件.

帐篷符合要求. 理由如下: 在 $Rt\triangle ACD$ 中, $CD = 0.9m$, $AD = 1.2m$, $\therefore AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1.2^{2}+0.9^{2}} = 1.5(m)$, 在 $Rt\triangle ADB$ 中, $AB = 2m$, $AD = 1.2m$, $\therefore BD = \sqrt{2^{2}-1.2^{2}} = 1.6(m)$, $\therefore BC = 1.6 + 0.9 = 2.5(m)$. $\because AB^{2}+AC^{2} = 2^{2}+1.5^{2} = 6.25$, $BC^{2} = 2.5^{2} = 6.25$, $\therefore AB^{2}+AC^{2} = BC^{2}$, $\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形, $\angle BAC = 90^{\circ}$, $\therefore$ 帐篷符合要求.

答案： 帐篷符合要求. 理由如下: 在 $Rt\triangle ACD$ 中, $CD = 0.9m$, $AD = 1.2m$, $\therefore AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1.2^{2}+0.9^{2}} = 1.5(m)$, 在 $Rt\triangle ADB$ 中, $AB = 2m$, $AD = 1.2m$, $\therefore BD = \sqrt{2^{2}-1.2^{2}} = 1.6(m)$, $\therefore BC = 1.6 + 0.9 = 2.5(m)$. $\because AB^{2}+AC^{2} = 2^{2}+1.5^{2} = 6.25$, $BC^{2} = 2.5^{2} = 6.25$, $\therefore AB^{2}+AC^{2} = BC^{2}$, $\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形, $\angle BAC = 90^{\circ}$, $\therefore$ 帐篷符合要求.

10. (2024秋·房山区期末)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度CE是2.2米.一架梯子AB斜靠在左墙时,梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米.

设此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 $x$ 米, 则 $BC$ 为 $(2.2 - x)$ 米, 由题意可知, $AC = 2.4$ 米, $DE = 2$ 米, $AB = DB$, 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DBE$ 中, 由勾股定理得: $AB^{2} = BC^{2}+AC^{2}$, $DB^{2} = BE^{2}+DE^{2}$, $\therefore BC^{2}+AC^{2} = BE^{2}+DE^{2}$, 即 $(2.2 - x)^{2}+2.4^{2} = x^{2}+4$, 解得: $x = $1.5, 答: 此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 1.5 米.

答案： 设此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 $x$ 米, 则 $BC$ 为 $(2.2 - x)$ 米, 由题意可知, $AC = 2.4$ 米, $DE = 2$ 米, $AB = DB$, 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DBE$ 中, 由勾股定理得: $AB^{2} = BC^{2}+AC^{2}$, $DB^{2} = BE^{2}+DE^{2}$, $\therefore BC^{2}+AC^{2} = BE^{2}+DE^{2}$, 即 $(2.2 - x)^{2}+2.4^{2} = x^{2}+4$, 解得: $x = 1.5$, 答: 此时梯子底端 $B$ 到右墙角点 $E$ 的距离是 1.5 米.

11. (2024秋·郑州期末)图1是某超市的购物车,图2为其侧面简化示意图,测得支架$AC=8dm,AB=6dm$,两轮中心的距离$BC=10dm$,滚轮半径$r=1dm$.
(1)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.
(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离$AD=13dm,AE=5dm$,且$AE⊥DE$,$AE$和BC都与地面平行,求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离.

答案：

(1) $\triangle ABC$ 是直角三角形; 理由如下: 购物车侧面简化示意图中, 支架 $AC = 8dm$, $AB = 6dm$, 两轮中心的距离 $BC = 10dm$, 又 $\because 8^{2}+6^{2} = 10^{2}$, 即 $AC^{2}+AB^{2} = BC^{2}$, $\therefore \triangle ABC$ 是直角三角形;
(2) $AD = 13dm$, $AE = 5dm$, $AE\perp DE$, 在 $Rt\triangle ADE$ 中, 由勾股定理得: $DE = \sqrt{AD^{2}-AE^{2}} = \sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12(dm)$, 如图, 过点 $A$ 作 $AG\perp BC$ 于点 $G$, 由
(1) 得, $\triangle ABC$ 是直角三角形, $\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB\cdot AC = \frac{1}{2}BC\cdot AG$, $\therefore AG = \frac{AB\cdot AC}{BC} = \frac{8×6}{10} = 4.8(dm)$, $\therefore$ 物车上篮子的左边缘 $D$ 到地面的距离为 $DE + AG + r = 12 + 4.8 + 1 = 17.8(dm)$.