《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

12. (2024·攀枝花)如图,$AB// CD$,$AE// CF$,$BF=DE$.求证:$AB=CD$.

证明：$ \because A B // C D $，$ A E // C F $，$ \therefore \angle B = \angle D $，$ \angle A E B = \angle C F D $。$ \because B F = D E $，$ \therefore B E = D F $。在 $ \triangle A B E $ 与 $ \triangle C D F $ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle D, } \\ { B E = D F, } \\ { \angle A E B = \angle C F D, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F ( A S A ) $，$ \therefore A B = C D $。

答案： $ \because A B // C D $，$ A E // C F $，$ \therefore \angle B = \angle D $，$ \angle A E B = \angle C F D $。$ \because B F = D E $，$ \therefore B E = D F $。在 $ \triangle A B E $ 与 $ \triangle C D F $ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle D, } \\ { B E = D F, } \\ { \angle A E B = \angle C F D, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F ( A S A ) $，$ \therefore A B = C D $。

13. (2024秋·太原期中)如图,小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.6m和2m,$∠BOC=90^{\circ }$.求证:$△COE\cong △OBD$.

证明:∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴∠ODB=∠OEC=90°，∠OBD+∠BOD=90°，∠OCE+∠COE=90°。∵∠BOC=90°，∴∠BOD+∠COE=90°，∴∠BOD=∠OCE。在△COE与△OBD中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle COE = \angle OBD, } \\ { OC = BO, } \\ { \angle OCE = \angle BOD, } \end{array} \right.$
∴△COE≌△OBD(ASA).

答案： $ \because B D \perp O A $，$ C E \perp O A $，$ \therefore \angle O D B = \angle O E C = 90 ^ { \circ } $，$ \angle O B D + \angle B O D = 90 ^ { \circ } $，$ \angle O C E + \angle C O E = 90 ^ { \circ } $。$ \because \angle B O C = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B O D + \angle C O E = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle B O D = \angle O C E $。在 $ \triangle C O E $ 与 $ \triangle O B D $ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle C O E = \angle O B D, } \\ { O C = B O, } \\ { \angle O C E = \angle B O D, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle C O E \cong \triangle O B D ( A S A ) $。

14. 如图,$AB// CD$,$∠B=∠D$,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)试判断AD与BE有怎样的位置关系,并说明理由;AD//BE
(2)试说明$△AOD\cong △EOC$.∵O是CD的中点，∴DO=CO。由(1)知AD//BE，∴∠D=∠OCE。在△ADO和△ECO中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle D = \angle O C E, } \\ { D O = C O, } \\ { \angle A O D = \angle E O C, } \end{array} \right.$∴△AOD≌△EOC(ASA)

答案：
(1) $ A D // B E $，理由：$ \because A B // C D $，$ \therefore \angle B = \angle D C E $。$ \because \angle B = \angle D $，$ \therefore \angle D C E = \angle D $，$ \therefore A D // B E $；
(2) $ \because O $ 是 $ C D $ 的中点，$ \therefore D O = C O $。由
(1)知 $ A D // B E $，$ \therefore \angle D = \angle O C E $。在 $ \triangle A D O $ 和 $ \triangle E C O $ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle D = \angle O C E, } \\ { D O = C O, } \\ { \angle A O D = \angle E O C, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle A O D \cong \triangle E O C ( A S A ) $。

15. (2024秋·顺义区期中)如图,点E在$△ABC$外部,点D在BC边上,DE交AC于F.若$∠BAD=∠CAE=∠CDE$,$AC=AE$.请在图中找出一对全等三角形,并写出证明过程.

答案：
$ \triangle A B C \cong \triangle A D E $，证明：如图：
$ \because \angle B A D = \angle C A E $，$ \therefore \angle B A D + \angle 1 = \angle C A E + \angle 1 $，即 $ \angle B A C = \angle D A E $。$ \because \angle 2 = \angle 3 $，$ \angle E A C = \angle C D F $，$ \therefore 180 ^ { \circ } - \angle 3 - \angle C D F = 180 ^ { \circ } - \angle 2 - \angle E A C $，即 $ \angle C = \angle E $。在 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle A D E $ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B A C = \angle D A E, } \\ { A C = A E, } \\ { \angle C = \angle E, } \end{array} \right.$
$ \therefore \triangle A B C \cong \triangle A D E ( A S A ) $。