《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

21. (2023春·安庆期末)在一次数学活动课中,小明同学用一根绳子围成一个长与宽之比为2:1,面积为50cm²的长方形.
(1)求长方形的长和宽;
(2)他用另一根绳子围成一个正方形,且正方形的面积等于(1)中长方形的面积.他说:“围成的正方形的边长与长方形的宽之差大于2cm.”请你判断他的说法是否正确,并说明理由.

答案：
(1) 根据题意设长方形的长为$2x\mathrm{cm}$，宽为$x\mathrm{cm}$，则$2x\cdot x=50$，即$x^{2}=25$，$\because x＞0$，$\therefore x=5$，$\therefore 2x=10$，答：长方形的长为$10\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$；
(2) 正确．理由如下：设正方形的边长为$y\mathrm{cm}$，根据题意可得，$y^{2}=50$，$\because y＞0$，$\therefore y=\sqrt{50}$．$\because$ 长方形的宽为$5\mathrm{cm}$，$\therefore$ 正方形的边长与长方形的宽之差为：$\sqrt{50}-5$，$\because 7＜\sqrt{50}＜8$，$\therefore 2＜\sqrt{50}-5＜3$，$\therefore$ 他的说法正确．

22. (2025春·福州期中)我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],又把x - [x]称为x的小数部分,记作{x},则有x = [x] + {x}.如:[2.4] = 2,{2.4} = 0.4,2.4 = [2.4] + {2.4};[-2.4] = -3,{-2.4} = 0.6,-2.4 = [-2.4] + {-2.4}.
(1)求[1 - $\sqrt{3}$]的值为-1;
(2)若2 ＜ $\vert x\vert$ ＜ 3,且{x} = $\sqrt{5} - 2$,求x的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-5$.

答案： $\because 1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore -1＞-\sqrt{3}＞-2$，$\therefore 0＞1-\sqrt{3}＞-1$，$\therefore [1-\sqrt{3}]=-1$；
(2) 当$x＞0$时，$\because 2＜|x|＜3$，$\therefore 2＜x＜3$，$\therefore [x]=2$，$\therefore x=[x]+\{x\}=2+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}$；当$x＜0$时，$\because 2＜|x|＜3$，$\therefore -2＞-x＞-3$，$\therefore [x]=-3$，$\therefore x=[x]+\{x\}=-3+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-5$；$\therefore x$的值为：$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-5$．

23. 我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此可得:如果ax + b = 0,其中a,b为有理数,x为无理数,那么a = 0且b = 0.
运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果$(a - 2)\sqrt{2} + b + 3 = 0$,其中a,b为有理数,那么a =2,b =-3.
(2)如果$(2 + \sqrt{2})a - (1 - \sqrt{2})b = 5$,其中a,b为有理数,求a + 2b的值.
整理，得$(a+b)\sqrt{2}+(2a-b-5)=0$．$\because a$，$b$为有理数，$\therefore \begin{cases}a+b=0,\\2a-b-5=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{5}{3},\\b=-\frac{5}{3},\end{cases}$ $\therefore a+2b=-\frac{5}{3}$．

答案：
(1) $2$ $-3$
(2) 整理，得$(a+b)\sqrt{2}+(2a-b-5)=0$．$\because a$，$b$为有理数，$\therefore \begin{cases}a+b=0,\\2a-b-5=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{5}{3},\\b=-\frac{5}{3},\end{cases}$ $\therefore a+2b=-\frac{5}{3}$．