《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

22. 如图，已知在$\triangle ABC$中，$AB=AC$.
(1) 作图：在AC上有一点D，连接BD并延长，在其延长线上取点E，使$AE=AB$，连接AE，作$∠EAC$的平分线AF交DE于点F.(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2) 在(1)条件下，连接CF，求证：$∠E=∠ACF$.

答案：

(1) 如图所示.
(2) $∵ AB = AC$，$AE = AB$，$∴ AE = AC$ $∵ AF$ 是 $∠EAC$ 的平分线，$∴ ∠EAF = ∠CAF$ 在 $△AEF$ 和 $△ACF$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AE = AC, } \\ { ∠EAF = ∠CAF, } \\ { AF = AF, } \end{array} \right. ∴ △AEF ≌ △ACF ( SAS )$，$∴ ∠E = ∠ACF$

23. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，DE是过点A的直线，$BD⊥DE$，垂足为点D，$CE⊥DE$，垂足为点E.
(1) 若B，C在DE的同侧(图1)且$AD=CE$，求证：$AB⊥AC$.
$∵ BD ⊥ DE$，$CE ⊥ DE$，$∴ ∠ADB = ∠AEC = 90 ^ { \circ }$ 在 $Rt △ABD$ 和 $Rt △CAE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AD = CE, } \\ { AB = CA, } \end{array} \right. ∴ Rt △ABD ≌ Rt △CAE$ $∴ ∠DAB = ∠ECA$，$∠DBA = ∠EAC$ $∵ ∠DAB + ∠DBA = 90 ^ { \circ }$，$∠EAC + ∠ACE = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠BAD + ∠CAE = 90 ^ { \circ }$ $∠BAC = 180 ^ { \circ } - ( ∠BAD + ∠CAE ) = 90 ^ { \circ }$ $∴ AB ⊥ AC$
(2) 若B，C在DE的两侧(图2)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
是理由如下：同 (1) 一样可证得 $Rt △ABD ≌ Rt △CAE$，$∴ ∠DAB = ∠ECA$，$∠DBA = ∠EAC$ $∵ ∠CAE + ∠ECA = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠CAE + ∠BAD = 90 ^ { \circ }$，即 $∠BAC = 90 ^ { \circ }$，$∴ AB ⊥ AC$

答案：
(1) $∵ BD ⊥ DE$，$CE ⊥ DE$，$∴ ∠ADB = ∠AEC = 90 ^ { \circ }$ 在 $Rt △ABD$ 和 $Rt △CAE$ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { AD = CE, } \\ { AB = CA, } \end{array} \right. ∴ Rt △ABD ≌ Rt △CAE$ $∴ ∠DAB = ∠ECA$，$∠DBA = ∠EAC$ $∵ ∠DAB + ∠DBA = 90 ^ { \circ }$，$∠EAC + ∠ACE = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠BAD + ∠CAE = 90 ^ { \circ }$ $∠BAC = 180 ^ { \circ } - ( ∠BAD + ∠CAE ) = 90 ^ { \circ }$ $∴ AB ⊥ AC$
(2) $AB ⊥ AC$ 理由如下：同
(1) 一样可证得 $Rt △ABD ≌ Rt △CAE$，$∴ ∠DAB = ∠ECA$，$∠DBA = ∠EAC$ $∵ ∠CAE + ∠ECA = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠CAE + ∠BAD = 90 ^ { \circ }$，即 $∠BAC = 90 ^ { \circ }$，$∴ AB ⊥ AC$

24. 已知：在$\triangle ABC$中，$AC=BC$，$∠ACB=90^{\circ }$，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.
(1) 直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：$AE=CG$.
证明：$∵$ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点，$AC = BC$，$∠ACB = 90 ^ { \circ }$，$∴ CD ⊥ AB$，$∠ACD = ∠BCD = 45 ^ { \circ }$，$∠A = ∠CBD = 45 ^ { \circ }$，$∴ ∠CAE = ∠BCG$ 又 $BF ⊥ CE$，$∴ ∠CBG + ∠BCF = 90 ^ { \circ }$ 又 $∠ACE + ∠BCF = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠ACE = ∠CBG$，$∴ △AEC ≌ △CGB$，$∴ AE = CG$
(2) 直线AH垂直于CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由.
图中与BE相等的线段是CM，理由：$∵ CH ⊥ HM$，$CD ⊥ ED$，$∴ ∠CMA + ∠MCH = 90 ^ { \circ }$，$∠BEC + ∠MCH = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠M = ∠BEC$ 又 $AC = BC$，$∠ACM = ∠B = 45 ^ { \circ }$，$∴ △BCE ≌ △CAM$，$∴ BE = CM$

答案：
(1) $∵$ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点，$AC = BC$，$∠ACB = 90 ^ { \circ }$，$∴ CD ⊥ AB$，$∠ACD = ∠BCD = 45 ^ { \circ }$，$∠A = ∠CBD = 45 ^ { \circ }$，$∴ ∠CAE = ∠BCG$ 又 $BF ⊥ CE$，$∴ ∠CBG + ∠BCF = 90 ^ { \circ }$ 又 $∠ACE + ∠BCF = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠ACE = ∠CBG$，$∴ △AEC ≌ △CGB$，$∴ AE = CG$
(2) $BE = CM$，理由：$∵ CH ⊥ HM$，$CD ⊥ ED$，$∴ ∠CMA + ∠MCH = 90 ^ { \circ }$，$∠BEC + ∠MCH = 90 ^ { \circ }$，$∴ ∠M = ∠BEC$ 又 $AC = BC$，$∠ACM = ∠B = 45 ^ { \circ }$，$∴ △BCE ≌ △CAM$，$∴ BE = CM$