《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

14. (2024 秋·泰州期中)如图,$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,点 D 是边 BC 上一点,$DE⊥AB$于点 E,点 F 是线段 AD 的中点,连接 EF,CF.
(1)求证:$EF=CF$;
(2)若$∠BAC=30^{\circ },AD=12$,求 C,E 两点之间的距离.

答案：

(1) 证明：$ \because DE \perp AB $，$ \therefore \angle DEA = 90^{\circ} $，在 $ Rt\triangle AED $ 和 $ Rt\triangle ACD $ 中，$ \because $ 点 F 是斜边 AD 的中点，$ \therefore EF = \frac{1}{2}AD $，$ CF = \frac{1}{2}AD $，$ \therefore EF = CF $；
(2) 解：如图，连接 CE，由
(1)得 $ EF = AF = CF = \frac{1}{2}AD = 6 $，$ \therefore \angle FEA = \angle FAE $，$ \angle FCA = \angle FAC $，$ \therefore \angle EFC = 2\angle FAE + 2\angle FAC = 2\angle BAC = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle EFC $ 是等边三角形，$ \therefore CE = EF = 6 $，$ \therefore C $，E 两点间的距离是 6。

15. (2025 春·泉山区阶段考)已知:如图,$∠ABC=∠ADC=90^{\circ }$,E,F 分别是 AC,BD 的中点.
(1)求证:$EF⊥BD$;
(2)若$∠BAD=30^{\circ },AC=8$,求 BD 的长.

答案：

(1) 证明：如图，连接 BE，DE，$ \because \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $，E 是 AC 的中点，$ \therefore BE = DE = \frac{1}{2}AC $。$ \because F $ 是 BD 的中点，$ \therefore EF \perp BD $；
(2) 解：由
(1)可知，$ BE = AE = DE = \frac{1}{2}AC = 4 $，$ \therefore \angle EAB = \angle EBA $，$ \angle EAD = \angle EDA $，$ \therefore 2\angle EAB = \angle CEB $，$ 2\angle EAD = \angle CED $。$ \because \angle BAD = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle BED = 60^{\circ} $，$ \because BE = DE $，$ \therefore \triangle BED $ 是等边三角形，$ \therefore BD = BE = 4 $。

16. (2024 春·龙泉驿区期末)如图 1,$△ABC$为等腰三角形,$AB=AC$,D 是线段 BC 的中点,过点 D 作射线 DE 和射线 DF,分别交边 AB,AC 于点 E,F,$∠AED+∠AFD=180^{\circ }$.
(1)$∠AED$与$∠CFD$相等吗? 为什么?
(2)DE 与 DF 相等吗? 为什么?
(3)如图 2,若$∠A=120^{\circ },∠EDF=60^{\circ },AB=10$,试求$EF+EC$的最小值.(在直角三角形中,如果有一个锐角等于$30^{\circ }$,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

答案：

(1) 相等。$ \because \angle AFD + \angle CFD = 180^{\circ} $，$ \angle AED + \angle AFD = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle AED = \angle CFD $；
(2) 相等。如图 1 过点 D 作 $ DM \perp AB $，$ DN \perp AC $，分别交于 M，N，连接 AD，$ \because D $ 是线段 BC 的中点且 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形，$ \therefore AD $ 平分 $ \angle BAC $。$ \because DM \perp AB $，$ DN \perp AC $，$ \therefore DM = DN $，$ \angle DME = \angle DNF = 90^{\circ} $，在 $ \triangle DEM $ 和 $ \triangle DFN $ 中，$ \begin{cases} \angle AED = \angle CFD \\ \angle DME = \angle DNF \\ DM = DN \end{cases} $，$ \therefore \triangle DEM \cong \triangle DFN $ (AAS)，$ \therefore DE = DF $；
(3) 由
(2)可知 $ DE = DF $，$ \because \angle EDF = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle DEF $ 为等边三角形，$ \therefore DE = EF $，$ \therefore $ 求 $ EF + EC $ 的最小值，即为求 $ DE + EC $ 的最小值，如图 2，作点 C 关于直线 AB 对称点 G，连接 GE，BG，GD，GC，AG，由对称的性质可得 $ GE = EC $，$ \therefore $ 求 $ DE + EC $ 最小值即为求 $ DE + GE $ 最小值。$ \because GE + ED $ 最小值为 GD 的长度，则 $ EF + EC $ 最小值为 GD 的长度，由对称的性质可得 $ \triangle ABC \cong \triangle ABG $，$ \therefore \angle ABC = \angle ABG $，$ BC = BG $，$ AC = AG $。$ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形，$ \angle A = 120^{\circ} $，$ \therefore \angle ABC = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle GBC = \angle ABC + \angle ABG = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle GBC $ 为等边三角形，由等边三角形对称性可得 $ \triangle ABC \cong \triangle AGC $。$ \because D $ 是线段 BC 的中点，$ \therefore GD \perp BC $。$ \because AB = 10 $，$ \therefore AD = 5 $，$ AG = 10 $，$ \therefore GD = 15 $，$ \therefore EF + EC $ 最小值为 15。