《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

13. (2025·南岗区)等边$\triangle ABC$中,边长为 6,D 在射线 CA 上,$AD=3$,点 E 在射线 BC 上,$BD=ED$,则 BE 的长为9或3.

答案： 9或3

14. (2010·雅安)如图,点 C 是线段 AB 上除点 A,B 外的任意一点,分别以 AC,BC 为边在线段 AB 的同旁作等边$\triangle ACD$和等边$\triangle BCE$,连接 AE 交 DC 于 M,连接 BD 交 CE 于 N,连接 MN.
(1) 求证:$AE=BD;$
证明:∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°.∵∠DCA=∠ECB=60°,∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中,{AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,}∴△ACE≌△DCB (SAS),∴AE=BD;
(2) 求证:$MN// AB.$
证明:∵由(1)得,△ACE≌△DCB,∴∠CAM=∠CDN,∵∠ACD=∠ECB=60°,而A,C,B三点共线,∴∠DCN=60°,在△ACM与△DCN中,{∠MAC=∠NDC,AC=DC,∠ACM=∠DCN=60°,}∴△ACM≌△DCN(ASA),∴MC=NC.∵∠MCN=60°,∴△MCN为等边三角形,∴∠NMC=∠DCN=60°,∴∠NMC=∠DCA,∴MN//AB.

答案： 证明:
(1)
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°.
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中,{AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,}
∴△ACE≌△DCB (SAS),
∴AE=BD;　
(2)
∵由
(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A,C,B三点共线,
∴∠DCN=60°,在△ACM与△DCN中,{∠MAC=∠NDC,AC=DC,∠ACM=∠DCN=60°,}
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴MC=NC.
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°,
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN//AB.

15. (2024 秋·天河区期末)如图,在四边形 ABCD 中,$AB=AD,CB=CD$,点 E 为 AD 上一点,连接 BD,CE 交于点 F,$CE// AB.$
(1) 若$\triangle ABD$为等边三角形,请判断$\triangle DEF$的形状,并说明理由;
$\triangle DEF$是等边三角形,理由如下:∵$\triangle ABD$为等边三角形，∴∠ADB=60°,∠ABD=60°.∵CE//AB,∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,∴$\triangle DEF$是等边三角形;
(2) 若$AD=12,CE=9$,求 CF 的长.
CF的长为6.

答案：
(1)△DEF是等边三角形,理由如下:
∵△ABD 为等边三角形，
∴∠ADB=60°,∠ABD=60°.
∵CE//AB,
∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,
∴△DEF是等边三角形;　
(2)连接AC交BD于点O,如图,
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC垂直平分BD,
∴AO⊥BD,
∴∠BAO=∠DAO=30°.
∵CE//AB,
∴∠ACE=∠BAO=∠DAO,
∴AE=CE=9,
∴DE=AD−AE=12−9=3,
∵△DEF是等腰三角形,
∴EF=DE=3,
∴CF=CE−EF=6.

16. (2024 春·景泰县期中)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC,∠BAC=α(0^{\circ }＜α＜60^{\circ })$,点 D 在$\triangle ABC$内,$BD=BC,∠DBC=60^{\circ }$,点 E 在$\triangle ABC$外,$∠BCE=150^{\circ },∠ABE=60^{\circ }.$
(1) 求$∠ADB$的度数;150°
(2) 判断$\triangle ABE$的形状并加以证明;等边三角形
(3) 连接 DE,若$DE⊥BD,DE=10$,直接写出 AD 的长.5

答案：
(1)
∵BD=BC,∠DBC=60°,
∴△DBC是等边三角形,
∴DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°,在△ADB和△ADC中,AB=AC,AD=AD,DB=DC,
∴△ADB≌△ADC(SSS),
∴∠ADB=∠ADC,
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$(360°−60°)=150°;　
(2)结论:△ABE是等边三角形.理由如下:
∵∠ABE=∠DBC=60°,
∴∠ABD=∠CBE,在△ABD和△EBC中,∠ADB=∠BCE=150°,BD=BC,∠ABD=∠CBE,
∴　△ABD≌△EBC(ASA),
∴AB=BE.
∵∠ABE=60°,
∴△ABE是等边三角形;　
(3)如图:连接DE,
∵∠BCE=150°,∠DCB=60°,
∴∠DCE=90°,
∵∠EDB=90°,∠BDC=60°,
∴∠EDC=30°,
∴EC=$\frac{1}{2}$DE=5.
∵△ABD≌△EBC,
∴AD=EC=5.