《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

12. (2024 秋·江门期中)如图,在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中,$∠C=∠C'=90^{\circ },AC=A'C',AD$与$A'D'$分别为$BC,B'C'$边上的中线,且$AD=A'D'$,求证:$Rt△ABC\cong Rt△A'B'C'.$

证明：在 $Rt\triangle ACD$ 和 $Rt\triangle A'C'D'$ 中，$\begin{cases} AC = A'C', \\ AD = A'D', \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ACD \cong Rt\triangle A'C'D'$(HL)，$\therefore CD = C'D'$。$\because AD$ 与 $A'D'$ 分别为 $BC$，$B'C'$ 边上的中线，$\therefore CB = C'B' = 2CD$，在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle A'B'C'$ 中，$\begin{cases} AC = A'C', \\ \angle C = \angle C' = 90^{\circ}, \\ CB = C'B', \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle A'B'C'$(SAS)。

答案： 证明：在 $Rt\triangle ACD$ 和 $Rt\triangle A'C'D'$ 中，$\begin{cases} AC = A'C', \\ AD = A'D', \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ACD \cong Rt\triangle A'C'D'(HL)$，$\therefore CD = C'D'$。$\because AD$ 与 $A'D'$ 分别为 $BC$，$B'C'$ 边上的中线，$\therefore CB = C'B' = 2CD$，在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle A'B'C'$ 中，$\begin{cases} AC = A'C', \\ \angle C = \angle C' = 90^{\circ}, \\ CB = C'B', \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle A'B'C'(SAS)$。

13. (2024 秋·漯河期末)如图,四边形 ABCD 中,$AB=AC,∠D=90^{\circ },BE⊥AC$于点 F,交 CD 于点 E,连接 EA,EA 平分$∠DEF.$
(1) 求证:$AF=AD;$
证明：根据 AAS 证明 $ \triangle AEF \cong \triangle AED$
(2) 若$BF=7,DE=3$,求 CE 的长.
解：在 $Rt\triangle ABF$ 和 $Rt\triangle ACD$ 中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AF = AD, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABF \cong Rt\triangle ACD(HL)$，$\therefore BF = CD = 7$。$\because DE = 3$，$\therefore CE = CD - DE = 7 - 3 = $4。

答案：
(1) 根据 AAS 证明 $ \triangle AEF \cong \triangle AED$
(2) 解：在 $Rt\triangle ABF$ 和 $Rt\triangle ACD$ 中，$\begin{cases} AB = AC, \\ AF = AD, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ABF \cong Rt\triangle ACD(HL)$，$\therefore BF = CD = 7$。$\because DE = 3$，$\therefore CE = CD - DE = 7 - 3 = 4$。

14. (2023·南通)如图,点 D,E 分别在 AB,AC 上,$∠ADC=∠AEB=90^{\circ },BE,CD$相交于点 O,$OB=OC.$
求证:$∠1=∠2.$
小虎同学的证明过程如下:
证明:$\because ∠ADC=∠AEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90^{\circ }.$
$\because ∠DOB=∠EOC,$
$\therefore ∠B=∠C$. ……第一步.
又$OA=OA,OB=OC,$
$\therefore △ABO\cong △ACO$. ……第二步.
$\therefore ∠1=∠2$. ……第三步.
(1) 小虎同学的证明过程中,第二步出现错误;
(2) 请写出正确的证明过程.
证明：$\because \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$，在 $ \triangle DOB$ 和 $ \triangle EOC$ 中，$\begin{cases} \angle BDO = \angle CEO, \\ \angle DOB = \angle EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$ $\therefore \triangle DOB \cong \triangle EOC(AAS)$，$\therefore OD = OE$。在 $Rt\triangle ADO$ 和 $Rt\triangle AEO$ 中，$\begin{cases} OD = OE, \\ OA = OA, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ADO \cong Rt\triangle AEO(HL)$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。

答案：
(1) 二
(2) 证明：$\because \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$，在 $ \triangle DOB$ 和 $ \triangle EOC$ 中，$\begin{cases} \angle BDO = \angle CEO, \\ \angle DOB = \angle EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$ $\therefore \triangle DOB \cong \triangle EOC(AAS)$，$\therefore OD = OE$。在 $Rt\triangle ADO$ 和 $Rt\triangle AEO$ 中，$\begin{cases} OD = OE, \\ OA = OA, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle ADO \cong Rt\triangle AEO(HL)$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$。