《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

8. (2023 春·覃塘区期中)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },∠B=30^{\circ },AC=2$,CD 是斜边上的中线,CE 是高,F 是 CD 的中点,连接 EF.
(1)求线段 CD 的长;2
(2)求证:$△EDF$是等边三角形.
证明：$ \because CD $ 是斜边上的中线，$ \therefore CD = DB = AD = \frac{1}{2}AB $。$ \because \angle B = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle ACD $ 是等边三角形。$ \because CE \perp AD $，$ \therefore AE = DE $，$ \angle ECD = 30^{\circ} $，$ \therefore DE = \frac{1}{2}DC $。$ \because F $ 是 CD 的中点，$ \therefore EF = \frac{1}{2}CD $，$ \therefore EF = DF $，$ \therefore \triangle EDF $ 为等边三角形。

答案：
(1) $ \because $ 在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \angle B = 30^{\circ} $，$ AC = 2 $，$ \therefore AB = 2AC = 2 \times 2 = 4 $。$ \because CD $ 是斜边上的中线，$ \therefore CD = \frac{1}{2}AB = 2 $；
(2) 证明：$ \because CD $ 是斜边上的中线，$ \therefore CD = DB = AD = \frac{1}{2}AB $。$ \because \angle B = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB = 60^{\circ} $，$ \therefore \triangle ACD $ 是等边三角形。$ \because CE \perp AD $，$ \therefore AE = DE $，$ \angle ECD = 30^{\circ} $，$ \therefore DE = \frac{1}{2}DC $。$ \because F $ 是 CD 的中点，$ \therefore EF = \frac{1}{2}CD $，$ \therefore EF = DF $，$ \therefore \triangle EDF $ 为等边三角形。

9. (2023 秋·丹阳市期中)如图,在四边形 ABCD 中,$∠BAD=∠BCD=90^{\circ }$,点 E,F 分别是 BD,AC 的中点,连接 EF,EA,EC.
(1)试判断 EF 与 AC 的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠EAF=25^{\circ }$,则$∠ADC=$65$^{\circ }$.

答案：
(1) EF 垂直平分 AC。理由：$ \because \angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ} $，E 是 BD 的中点，$ \therefore AE = \frac{1}{2}BD $，$ CE = \frac{1}{2}BD $，$ \therefore AE = CE $，又 $ \because F $ 是 AC 的中点，$ \therefore EF \perp AC $，$ \therefore EF $ 垂直平分 AC。
(2) $ 65^{\circ} $

10. (2025·白河县模拟)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,点 D 是斜边 AB 的中点,DE 平分$∠ADC,BC=4,∠A=30^{\circ }$,则 DE 的长是（B）

A. 4
B. 2
C. $\sqrt {3}$
D. 1

答案： B

11. (2024 秋·苏州期末)如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,点 D 是边 AB 的中点,以点 C 为圆心,CD 的长为半径画弧,与线段 BD 相交于另一点 E,连接 CE.若$∠A=∠DCE$,则$∠A$的度数为（C）

A. $20^{\circ }$
B. $30^{\circ }$
C. $36^{\circ }$
D. $40^{\circ }$

答案： C

12. (2025 春·渝北区期中)在$Rt△ABC$中,斜边 AB 上的中线和高分别为 5 cm,4 cm,则$△ABC$的面积等于______20$cm^{2}$.

答案： 20

13. (2023 秋·礼县期末)如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },∠ABC=60^{\circ }$,BD 平分$∠ABC$,P 点是 BD 的中点,若$AD=6$,则 CP 的长为______3.

答案： 3