《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

13. 在综合实践课上,甲、乙两组同学分别设计方案,检测背景墙面(如图所示)边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.
甲组:
工具:卷尺,测量得边AD长为1m,边AB长为2.4m,点B和点D之间的距离是2.6m.请你依据测量数据判断:边AD垂直于边AB吗?说明理由.
边AD垂直于边AB,理由如下:∵AD²+AB²=1²+2.4²=6.76,BD²=2.6²=6.76,∴AD²+AB²=BD²,∴边AD垂直于边AB
乙组:
工具:20厘米的刻度尺,你能帮他设计一个方案检验边BC是否垂直于边AB.
在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm,如果EF=5cm,则边BC垂直于边AB,否则就不垂直

答案： 甲组:边AD垂直于边AB,理由如下:$\because AD^{2}+AB^{2}=1^{2}+2.4^{2}=6.76,BD^{2}=2.6^{2}=6.76,\therefore AD^{2}+AB^{2}=BD^{2},\therefore $边AD垂直于边AB;乙组:在BC上量取$BE=3cm$,在AB上量取$BF=4cm$,如果$EF=5cm$,则边BC垂直于边AB,否则就不垂直.

14. (2025春·包河区期中)通过对《勾股定理》的学习,我们知道,如果一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作和谐三角形.
(1)根据“和谐三角形”的定义,请你判断:等边三角形______和谐三角形.(填“是”或“不是”)
(2)已知某三角形的三边的长分别为$\sqrt{3}$,3,$\sqrt{15}$,请你判断该三角形是否为和谐三角形?并说明理由.
(3)在Rt△ABC,三边长分别为a,b,c,且$a^{2}=35$,$c^{2}=70$,请你判断该三角形是否为和谐三角形?并说明理由.
(1)是
(2)该三角形是和谐三角形.理由:$\because (\sqrt {3})^{2}+(\sqrt {15})^{2}=2×3^{2},\therefore $该三角形是和谐三角形.
(3)①当c为斜边时,$b^{2}=c^{2}-a^{2}=70-35=35$,而$a^{2}=35,b^{2}=35,c^{2}=70$,不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍,$\therefore $该三角形不是和谐三角形.②当b为斜边时,$b^{2}=a^{2}+c^{2}=35+70=105,\because 35+105=2×70,\therefore a^{2}+b^{2}=2c^{2},\therefore $该三角形是和谐三角形,答:当c为斜边时,该三角形不是和谐三角形,当b为斜边时,该三角形是和谐三角形.

答案：
(1)是,理由如下:不妨设等边$\triangle ABC$的边长为a,则$AB=AC=BC=a$,则$AB^{2}+AC^{2}=2a^{2}=2BC^{2}$,所以等边三角形是和谐三角形,故答案为:是;
(2)该三角形是和谐三角形.理由:$\because (\sqrt {3})^{2}+(\sqrt {15})^{2}=2×3^{2},\therefore $该三角形是和谐三角形.
(3)①当c为斜边时,$b^{2}=c^{2}-a^{2}=70-35=35$,而$a^{2}=35,b^{2}=35,c^{2}=70$,不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍,$\therefore $该三角形不是和谐三角形.②当b为斜边时,$b^{2}=a^{2}+c^{2}=35+70=105,\because 35+105=2×70,\therefore a^{2}+b^{2}=2c^{2},\therefore $该三角形是和谐三角形,答:当c为斜边时,该三角形不是和谐三角形,当b为斜边时,该三角形是和谐三角形.