《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

10. (2024秋·中牟县期末)用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形,中间也是一个正方形,它是美丽的弦图,其中四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a＜b),斜边长为c.
(1)请利用图1证明:a²+b²=c²;
证明:$S_{小正方形}=(b-a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,$S_{小正方形}=c^{2}-4×\frac {1}{2}ab=c^{2}-2ab$,即$b^{2}-2ab+a^{2}=c^{2}-2ab$,∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
(2)如图2,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形ABCDEFGH,若该图形的周长为80,OB=5,求该图形的面积.
解:∵AB+BC=80÷4=20,设 AH=BC=x,则 AB=20-x,OH=OB=5,在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:$OB^{2}+OA^{2}=AB^{2}$,即$5^{2}+(5+x)^{2}=(20-x)^{2}$,解得:x=7,∴$S=\frac {1}{2}×5×12×4=120$

答案：
(1) 证明:$S_{小正方形}=(b-a)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$,$S_{小正方形}=c^{2}-4×\frac {1}{2}ab=c^{2}-2ab$,即$b^{2}-2ab+a^{2}=c^{2}-2ab$,
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(2) 解:
∵AB+BC=80÷4=20,设 AH=BC=x,则 AB=20-x,OH=OB=5,在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:$OB^{2}+OA^{2}=AB^{2}$,即$5^{2}+(5+x)^{2}=(20-x)^{2}$,解得:x=7,
∴$S=\frac {1}{2}×5×12×4=120$.

11. (2024春·交城县期中)操作与探究
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法.某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法.赵爽在注解《周髀算经》时,给出了“赵爽弦图”,通过此图的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.
定理探究
(1)如图1,在网格中有一个直角三角形ABC,请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”;

(2)若直角三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理.
实践应用
(3)有两个正方形如图2所示放置在网格中,请你通过切割、拼接,把这两个正方形转化成一个大正方形,请设计出你的方案(画出分割线和拼成的大正方形).

答案：

(1) 根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”,如图 1 即为所求;
(2) 由图可知:中间小正方形的边长为(b-a),
∴$S_{小正方形}=(b-a)^{2}$.
∵$S_{大正方形}=c^{2}$,
∴$S_{大正方形}=S_{小正方形}+4S_{△ABC}=(b-a)^{2}+4×\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2}$,
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$;
(3) 通过切割、拼接,把这两个正方形转化成一个大正方形,如图 2,即为所求.