《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

8. (2024·利川市模拟)如图,$\triangle ABC$为等边三角形,点 M 是线段 BC 上的任意一点,点 N 是线段 CA 上任意一点,且$BM=CN$,直线 BN 与 AM 交于点 Q.
(1) 求证:$\triangle BAN\cong \triangle ACM;$
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°,∵BM=CN,∴CM=AN,又∵∠BAN=∠ACM,∴△BAN≌△ACM(SAS);
(2) 求$∠BQM$的大小.
解：由(1)知△BAN≌△ACM，∴∠CAM=∠ABN,∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

答案：
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°,
∵BM=CN,
∴CM=AN,又
∵∠BAN=∠ACM,
∴△BAN≌△ACM;　
(2)
∴∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

9. (2024 秋·周村区期中)已知$\triangle ABC$是等边三角形,将一块含有$30^{\circ }$角的直角三角尺 DEF 按如图所示放置,让三角尺在 BC 所在的直线上向右平移. 如图 1,当点 E 与点 B 重合时,点 A 恰好落在三角尺的斜边 DF 上.
(1) 利用图 1 证明:$EF=2BC;$
(2) 如图 2,在三角尺平移过程中,设 AB,AC 与三角尺的斜边的交点分别为 G,H,猜想线段 AH 与 BE 存在怎样的数量关系? 并证明你的结论.

答案：
(1)证明:由题意得,∠F=30°,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴∠CAF=∠ACB−∠F=60°−30°=30°,
∴∠CAF=∠F=30°,
∴CA=CF,
∴BC=CF,
∴EF=2BC;　
(2)解:AH=BE,证明如下:
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∴∠CHF=∠ACB−∠F=60°−30°=30°,
∴∠CHF=∠F,
∴CF=CH.
∵EF=2BC,
∴BE+CF=BC,又
∵AC=AH+CH,AC=BC,
∴AH=BE.

10. (2025·南昌模拟)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,分别以 A 和 C 点为圆心,一定的长度为半径画弧,两弧交于 M,N 两点,连接 MN,交 AC 于点 D,又以 C 为圆心,以 CD 的长度为半径画弧交 BC 的延长线于 E 点,连接 ED 并延长交 AB 于点 F,经过此操作后,下列结论错误的是 (C)

A. MN 平分$∠ABC$
B. $∠BEF=30^{\circ }$
C. $CD=DF$
D. $BE=2BF$

答案： C

11. (2024 秋·苍梧县期末)如图,已知$∠MON=30^{\circ }$,点$A_{1},A_{2},A_{3},... $在射线 ON 上,点$B_{1},B_{2},B_{3},... $在射线 OM 上,$\triangle A_{1}B_{1}A_{2},\triangle A_{2}B_{2}A_{3},\triangle A_{3}B_{3}A_{4}$,…均为等边三角形,若$OA_{1}=2$,则$\triangle A_{6}B_{6}A_{7}$的边长为 (C)

A. 16
B. 32
C. 64
D. 128

答案： C

12. (2024 秋·鄂伦春自治旗期末)如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,且$AC=CE,DF=DE$,点 G,D,F 分别为 AC,CE,GD 的中点,则$∠E=$15$^{\circ }$.

答案： 15