《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

10. 已知△ABN和△ACM的位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:
(1) BD=CE;
(2) ∠M=∠N.
(1) 在$△ABD$和$△ACE$中，$\begin{cases}AB = AC \\ ∠1 = ∠2 \\ AD = AE \end{cases}$，$∴ △ABD ≌ △ACE (SAS)$，$∴ BD = CE$.
(2) $∵ ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 + ∠DAE = ∠2 + ∠DAE$，即$∠BAN = ∠CAM$，由(1)得：$△ABD ≌ △ACE$，$∴ ∠B = ∠C$. 在$△ACM$和$△ABN$中，$\begin{cases}∠C = ∠B \\ AC = AB \\ ∠CAM = ∠BAN \end{cases}$，$∴ △ACM ≌ △ABN (ASA)$，$∴ ∠M = ∠N$.

答案：
(1) 在 $△ABD$ 和 $△ACE$ 中，$\begin{cases}AB = AC \\ ∠1 = ∠2 \\ AD = AE \end{cases}$，$∴ △ABD ≌ △ACE (SAS)$，$∴ BD = CE$.
(2) $∵ ∠1 = ∠2, ∴ ∠1 + ∠DAE = ∠2 + ∠DAE$，即 $∠BAN = ∠CAM$，由
(1) 得：$△ABD ≌ △ACE$，$∴ ∠B = ∠C$. 在 $△ACM$ 和 $△ABN$ 中，$\begin{cases}∠C = ∠B \\ AC = AB \\ ∠CAM = ∠BAN \end{cases}$，$∴ △ACM ≌ △ABN (ASA)$，$∴ ∠M = ∠N$.

11. 如图1,将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上,图2是由图1抽象出的几何图形,过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1) △ACD与△CBE全等吗? 说明你的理由.全等，证明：∵ AD⊥CE, BE⊥CE, ∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°. 又 ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD = ∠CBE = 90° - ∠ECB. 在 △ACD 与 △CBE 中，$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB \\ ∠ACD = ∠CBE \\ AC = CB \end{cases}$，∴ △ACD ≌ △CBE (AAS)
(2) 猜想线段AD,BE,DE之间的关系.(直接写出答案)AD = BE - DE

答案： 全等，证明：
(1) $∵ AD⊥CE, BE⊥CE, ∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°$. 又 $∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD = ∠CBE = 90° - ∠ECB$. 在 $△ACD$ 与 $△CBE$ 中，$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB \\ ∠ACD = ∠CBE \\ AC = CB \end{cases}$，$∴ △ACD ≌ △CBE (AAS)$；
(2) $AD = BE - DE$，理由如下：$∵ △ACD ≌ △CBE, ∴ CD = BE, AD = CE$. 又 $∵ CE = CD - DE, ∴ AD = BE - DE$.

12. 如图所示,D是四边形AEBC内一点,连接AD,BD,已知CA=CB,DA=DB,EA=EB,请问C,D,E三点在一条直线上吗? 为什么?

$C, D, E$ 三点在同一直线上. 理由如下：如图，连接 $CD, ED$. 在 $△ADC$ 和 $△BDC$ 中，$AC = BC, AD = BD, CD = CD$，$∴ △ADC ≌ △BDC (SSS)$，$∴ ∠ADC = ∠BDC$. 在 $△ADE$ 和 $△BDE$ 中，$\begin{cases}AD = BD \\ AE = BE \\ DE = DE \end{cases}$，$∴ △ADE ≌ △BDE (SSS)$，$∴ ∠ADE = ∠BDE$. $∵ ∠ADC + ∠BDC + ∠ADE + ∠BDE = 360°, ∴ ∠ADC + ∠ADE = 180°$，$∴ C, D, E$ 三点在同一直线上.

答案： $C, D, E$ 三点在同一直线上. 理由如下：如图，连接 $CD, ED$. 在 $△ADC$ 和 $△BDC$ 中，$AC = BC, AD = BD, CD = CD$，$∴ △ADC ≌ △BDC (SSS)$，$∴ ∠ADC = ∠BDC$. 在 $△ADE$ 和 $△BDE$ 中，$\begin{cases}AD = BD \\ AE = BE \\ DE = DE \end{cases}$，$∴ △ADE ≌ △BDE (SSS)$，$∴ ∠ADE = ∠BDE$. $∵ ∠ADC + ∠BDC + ∠ADE + ∠BDE = 360°, ∴ ∠ADC + ∠ADE = 180°$，$∴ C, D, E$ 三点在同一直线上.