《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

9. (2024 秋·庄浪县期末)如图，点 $ D $，$ E $ 在 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 上，$ AD = AE $，$ BD = CE $，求证：$ AB = AC $。

证明：过点 $A$ 作 $AF \perp BC$ 于点 $F$，$ \because AD = AE$，$ \therefore DF = EF$。$ \because BD = CE$，$ \therefore BF = CF$，$ \therefore AB = AC$。

答案： 证明：过点 $A$ 作 $AF \perp BC$ 于点 $F$，$ \because AD = AE$，$ \therefore DF = EF$。$ \because BD = CE$，$ \therefore BF = CF$，$ \therefore AB = AC$。

10. (2025·连州市模拟)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD \perp BC $，垂足为 $ D $，点 $ E $ 是 $ AD $ 上一点，连接 $ BE $，$ CE $。下列说法错误的是 (C)

A. $ BD = DC $
B. $ \angle BAD = \angle CAD $
C. $ AB = AD $
D. $ BE = CE $

答案： C

11. (2024 秋·无为市期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 $ OA $，$ OB $ 组成，两根棒在 $ O $ 点相连并可绕 $ O $ 转动，$ C $ 点固定，$ OC = CD = DE $，点 $ D $，$ E $ 可在槽中滑动，若 $ \angle BDE = 69^{\circ} $，则 $ \angle CDE $ 的度数是 (D)

A. $ 60^{\circ} $
B. $ 69^{\circ} $
C. $ 76^{\circ} $
D. $ 88^{\circ} $

答案： D

12. (2024·内江)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle DCE = 40^{\circ} $，$ AE = AC $，$ BC = BD $，则 $ \angle ACB $ 的度数为______100°。

答案： $100^{\circ}$

13. (2024 秋·辛集市期末)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AC = BC $，$ \angle ACB = 120^{\circ} $，$ BE \perp AB $，点 $ D $ 为 $ BC $ 上一点，且 $ CD = BE $，$ AD $，$ CE $ 交于点 $ P $。
(1) 试说明 $ \triangle ACD \cong \triangle CBE $；
(2) 猜想 $ \angle APC $ 的度数，并证明。

(1) 证明：$ \because AC = BC$，$ \angle ACB = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle CAB = \angle CBA = 30^{\circ}$。$ \because BE \perp AB$，$ \therefore \angle CBE = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle ACB = \angle CBE$，在 $ \triangle ACD$ 和 $ \triangle CBE$ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AC = CB, } \\ { \angle ACB = \angle CBE, } \\ { CD = BE, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ACD \cong \triangle CBE$ (SAS)；
(2) 解：$ \angle APC = $60°，理由如下：$ \because \triangle ACD \cong \triangle CBE$，$ \therefore \angle CAP = \angle PCD$。$ \because \angle ACP + \angle PCD = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle CAP + \angle ACP = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle APC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。

答案：
(1) 证明：$ \because AC = BC$，$ \angle ACB = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle CAB = \angle CBA = 30^{\circ}$。$ \because BE \perp AB$，$ \therefore \angle CBE = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle ACB = \angle CBE$，在 $ \triangle ACD$ 和 $ \triangle CBE$ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AC = CB, } \\ { \angle ACB = \angle CBE, } \\ { CD = BE, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ACD \cong \triangle CBE$ (SAS)；
(2) 解：$ \angle APC = 60^{\circ}$，理由如下：$ \because \triangle ACD \cong \triangle CBE$，$ \therefore \angle CAP = \angle PCD$。$ \because \angle ACP + \angle PCD = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle CAP + \angle ACP = 120^{\circ}$，$ \therefore \angle APC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$。