《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

14. 如图所示，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC $，$ D $ 为 $ BC $ 边上的中点，$ CE \perp AD $ 于点 $ E $，$ BF // AC $ 交 $ CE $ 的延长线于点 $ F $，求证：$ AB $ 垂直平分 $ DF $。

答案：
证明：如图，连接 $DF$，$ \because \angle BCE + \angle ACE = 90^{\circ}$，$ \angle ACE + \angle CAE = 90^{\circ}$，$ \therefore \angle BCE = \angle CAE$。$ \because AC \perp BC$，$BF // AC$，$ \therefore BF \perp BC$，$ \therefore \angle ACD = \angle CBF = 90^{\circ}$。$ \because AC = CB$，$ \therefore \triangle ACD \cong \triangle CBF$，$ \therefore CD = BF$。$ \because CD = BD = \frac{1}{2}BC$，$ \therefore BF = BD$，$ \therefore \triangle BFD$ 为等腰直角三角形。$ \because \angle ACB = 90^{\circ}$，$CA = CB$，$ \therefore \angle ABC = 45^{\circ}$。$ \because \angle FBD = 90^{\circ}$，$ \therefore \angle ABF = 45^{\circ}$，$ \therefore \angle ABC = \angle ABF$，即 $BA$ 是 $ \angle FBD$ 的平分线，$ \therefore BA$ 是 $FD$ 边上的高线，$BA$ 又是边 $FD$ 的中线，即 $AB$ 垂直平分 $DF$。

15. (2024 秋·江都区期末)如图，$ AB = AC = AD $。
(1) 若 $ AD // BC $，
①如果 $ \angle C = 80^{\circ} $，那么 $ \angle D $ 的度数为______40$ ^{\circ} $；
②猜想 $ \angle C $ 和 $ \angle D $ 的数量关系并证明；
(2) 如果 $ \angle C = 2 \angle D $，$ AD $ 与 $ BC $ 有什么位置关系？请证明你的结论。

答案：
(1) ① 40
② $ \angle C = 2\angle D$，理由如下：$ \because AD // BC$，$ \therefore \angle D = \angle DBC$，又 $ \because AB = AD$，$ \therefore \angle D = \angle ABD$，$ \therefore \angle ABC = 2\angle D$。$ \because AB = AC$，$ \therefore \angle C = \angle ABC = 2\angle D$；
(2) 平行，理由如下：$ \because AB = AC$，$ \therefore \angle ABC = \angle C = 2\angle D$，又 $ \because AB = AD$，$ \therefore \angle ABD = \angle D$，$ \therefore \angle DBC = \angle D$，$ \therefore AD // BC$。

16. (2024 春·二七区期末)问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图 1，已知 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle B = 40^{\circ} $。将 $ \triangle ABC $ 从图 1 的位置开始绕点 $ A $ 逆时针旋转，得到 $ \triangle ADE $ (点 $ D $，$ E $ 分别是点 $ B $，$ C $ 的对应点)，旋转角为 $ \alpha (0^{\circ} \lt \alpha \lt 100^{\circ}) $，设线段 $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ M $，线段 $ DE $ 分别交 $ BC $，$ AC $ 于点 $ O $，$ N $。
特例分析：(1) 如图 2，当旋转到 $ AD \perp BC $ 时，旋转角 $ \alpha $ 的度数为______；
探究规律：(2) 如图 3，在 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段 $ AM $ 始终等于线段 $ AN $，请你证明这一结论。
拓展延伸：(3) 当 $ \triangle DOM $ 是等腰三角形时，求旋转角 $ \alpha $ 的度数。

答案：

(1) $50^{\circ}$
(2) 证明：$ \because AB = AC$，$ \therefore \angle ABM = \angle C$，由旋转得：$ \angle AEN = \angle C$，$ \angle BAM = \angle EAN = \alpha$，$AD = AE = AB$，$ \therefore \angle ABM = \angle AEN$，在 $ \triangle ABM$ 和 $ \triangle AEN$ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle ABM = \angle AEN, } \\ { AB = AE, } \\ { \angle BAM = \angle EAN, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ABM \cong \triangle AEN$ (ASA)，$ \therefore AM = AN$；
(3) 解：① 如图 1，当 $MD = MO$ 时，由旋转得：$ \angle MDO = 40^{\circ}$，$ \therefore \angle MOD = 40^{\circ}$，$ \therefore \angle AMO = 2\angle MDO = 80^{\circ}$。$ \because \angle AMO = \angle ABM + \angle BAM$，$ \therefore \angle BAM = 80^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ}$，$ \therefore \alpha = 40^{\circ}$；
② 如图 2，当 $DM = DO$ 时，由 ① 得：$ \angle MDO = 40^{\circ}$，$ \therefore \angle DOM = \frac{180^{\circ} - \angle MDO}{2} = 70^{\circ}$。$ \therefore \angle AMO = \angle MDO + \angle DOM = 110^{\circ}$。$ \because \angle AMO = \angle ABM + \angle BAM$，$ \therefore \angle BAM = 110^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ}$，$ \therefore \alpha = 70^{\circ}$；
③ 如图 3，当 $OD = OM$ 时，由 ① 得：$ \angle MDO = \angle DMO = 40^{\circ}$，$ \therefore \angle AMO = 180^{\circ} - \angle DMO = 140^{\circ}$，$ \because \angle AMO = \angle ABM + \angle BAM$，$ \therefore \angle BAM = 140^{\circ} - 40^{\circ} = 100^{\circ}$，$ \therefore \alpha = 100^{\circ}$。$ \because 0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 100^{\circ}$，$ \therefore \alpha = 100^{\circ}$ 不合题意，舍去；
综上所述：旋转角 $ \alpha$ 的度数为 $40^{\circ}$ 或 $70^{\circ}$。