《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

25. 定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫作这个三角形的等直分割线段.
例如：如图1，在$\triangle ABC$中，
$\because AD⊥BC$于D，且$BD=AD$，
$\therefore \triangle ACD$是直角三角形，$\triangle ABD$是等腰三角形，
$\therefore \triangle ABC$是等直三角形，AD是$\triangle ABC$的一条等直分割线段.
(1) 如图2，已知$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是$\triangle ABC$的一条等直分割线段；
(2) 若$\triangle ABC$是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，$∠B$和$∠C$均小于$45^{\circ }$.求证：$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案：

(1) $∵ DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$∴ AD = BD$，$∴ △ABD$ 是等腰三角形. 又 $∵ ∠C = 90 ^ { \circ }$，$∴ △ACD$ 是直角三角形，$∴ AD$ 是 $△ABC$ 的一条等直分割线段；
(2) 如图，$AD$，$AE$ 是 $△ABC$ 的两条等值分割线段.

26. 问题背景
如图1，在四边形ABCD中，$AB=AD$，$∠BAD=120^{\circ }$，$∠B=∠ADC=90^{\circ }$，E，F分别是BC，CD上的点，且$∠EAF=60^{\circ }$，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使$DG=BE$，连接AG，先证明$\triangle ABE≌\triangle ADG$，再证明$\triangle AEF≌\triangle AGF$，可得出结论，他的结论应是______.
探索延伸
如图2，若在四边形ABCD中，$AB=AD$，$∠B+∠D=180^{\circ }$，E，F分别是BC，CD上的点，且$∠EAF=\frac {1}{2}∠BAD$，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由.

答案：
问题背景：$EF = BE + FD$. 探索延伸：$EF = BE + FD$ 仍然成立. 如图，延长 $FD$ 到点 $G$，使 $DG = BE$，连接 $AG$，$∵ ∠B + ∠ADC = 180 ^ { \circ }$，$∠ADG + ∠ADC = 180 ^ { \circ }$，$∴ ∠B = ∠ADG$ 又 $∵ AB = AD$，$BE = DG$，$∴ △ABE ≌ △ADG$，$∴ AE = AG$，$∠BAE = ∠DAG$ 又 $∵ ∠EAF = \frac { 1 } { 2 } ∠BAD$，$∴ ∠FAG = ∠FAD + ∠DAG = ∠FAD + ∠BAE = ∠BAD - ∠EAF = ∠BAD - \frac { 1 } { 2 } ∠BAD = \frac { 1 } { 2 } ∠BAD$，$∴ ∠EAF = ∠GAF$，$∴ △AEF ≌ △AGF$，$∴ EF = FG$ 又 $∵ FG = DG + DF = BE + DF$，$∴ EF = BE + FD$.