《2025年高效精练八年级数学上册苏科版》

7. (2024·绥化)如图,$AB// CD$,$∠C=33^{\circ }$,$OC=OE$.则$∠A=$______66$^{\circ }$.

答案： 66

8. (2024 秋·石城县期末)如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$DE⊥AB$于点$E$,$DF⊥AC$于点$F$,且$DE=DF$,则下列结论中正确的有__________.
①$AD$平分$∠BAC$;②$AD⊥BC$;③$BD=CD$;④$∠EDA=∠BDE$.

①②③

答案： ①②③

9. (2025 春·射阳县阶段考)如图,已知在$\triangle ABC$中,$AB$边的垂直平分线$l_{1}$交$BC$于点$D$,$AC$边的垂直平分线$l_{2}$交$BC$于点$E$,$l_{1}$与$l_{2}$相交于点$O$,连接$OB$,$OC$,若$\triangle ADE$的周长为$8cm$,$\triangle OBC$的周长为$18cm$.
(1)求线段$BC$的长;8cm
(2)连接$OA$,求证:$OB=OC$;
(3)求线段$OA$的长.5cm

答案：
(1)解:
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵ $ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为8cm，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8(cm),
∴BC=8cm;　
(2)证明:如图，连接OA,
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB.
∵ $ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC,
∴OB=OC;　　
(3)解:
∵△OBC的周长为18cm,
∴OB+OC+BC=18cm.
∵BC=8cm,
∴OB=OC=5(cm).
∵OA=OB,
∴OA=5cm.

10. (2024 秋·荣昌区期中)如图,$A$,$B$两点分别在射线$OM$,$ON$上,点$C$在$∠MON$的内部且$CA=CB$,$CD⊥OM$,$CE⊥ON$,垂足分别为$D$,$E$,且$AD=BE$.
(1)求证:$OC$平分$∠MON$;
证明:∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠CDA=90°,∠CEB=90°,在Rt△CDA和Rt△CEB中, $ \begin{cases} CA = CB, \\ AD = BE, \end{cases} $ ∴Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),∴CD=CE,∴点C在∠MON的平分线上，∴OC平分∠MON;
(2)如果$AO=12$,$BO=4$,求$OD$的长.
解:设OD=x,∵OA=12,∴AD=OA−OD=12−x,∴AD=BE=12−x,在Rt△OCD 和Rt△OCE中, $ \begin{cases} CD = CE, \\ OC = OC, \end{cases} $ ∴Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),∴OD=OE=x,∴BO=OE−BE=x−(12−x)=2x−12.∵BO=4,∴2x−12=4,解得:x=8,∴OD=8.

答案：
(1)证明:
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDA=90°,∠CEB=90°,在Rt△CDA和Rt△CEB中, $ \begin{cases} CA = CB, \\ AD = BE, \end{cases} $
∴Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),
∴CD=CE,
∴点C在∠MON的平分线上，
∴OC平分∠MON;　
(2)解:设OD=x,
∵OA=12,
∴AD=OA−OD=12−x,
∴AD=BE=12−x,在Rt△OCD 和Rt△OCE中, $ \begin{cases} CD = CE, \\ OC = OC, \end{cases} $
∴Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),
∴OD=OE=x,
∴BO=OE−BE=x−(12−x)=2x−12.
∵BO=4,
∴2x−12=4,解得:x=8,
∴OD=8.

11. (2025·兰州模拟)如图,在$\triangle ABC$中,已知$∠A=30^{\circ }$,$∠ABC=70^{\circ }$,$D$为$AC$边上一点,且$AD=BD$.则$∠DBC=$(D)

A. $70^{\circ }$
B. $60^{\circ }$
C. $50^{\circ }$
D. $40^{\circ }$

答案： D